Analyse complexe [exos]

[theophrastusbombastus]

Bonjour,
j'aurais eu deux trois questions aux sujets de deux exercices d'analyse complexe :

exercice 1:
Soit une fonction holomorphe. Montrer, en utilisant le principe de prolongement analytique, que si alors est une fonction constante.

Avec les réels, facile, on trouve par récurrence que donc en étudiant la limite en l'infini on trouve donc une fonction constante. Pour z complexe j'aurais bien envie de prendre la définition de la convergence d'une suite de nombre complexe et avoir un résultat identique mais je ne sais pas comment le formuler et ça ne me conviens pas parce que je n'utilise pas le principe de prolongement analytique (accessoirement non on ne l'a pas vu en cour).

exercice 2:
Soit holomorphe sur , telle que et . Montrer que si et que cette integrale ne depend pas de

là par contre choux blanc, je ne demande donc pas d'aide mais si quelqu'un pouvait m'aiguiller sur un cour en ligne ou quelque chose pour comprendre ca !

Merci d'avance pour votre aide et le temps que vous m’accorderez.
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[Resartus]

Si vous avez déjà vu le théorème des résidus, il faut l'utiliser sur le parcours fermé qui va de (-infini, 0) à (+infini, 0), puis (+infini, alpha), puis (-infini, alpha), puis (-infini, 0)*
La première étape est de montrer qu'il n'y a pas de pôles à l'intérieur (grâce à Im(z) borné) , donc que cette intégrale est nulle,
On constate ensuite que les deux bouts à l'infini à droite et à gauche sont nuls.
La conclusion est que les deux intégrales pour 0 et pour alpha sont égales

Si vous n'avez pas vu (ou pas le droit d'utiliser) ce théorème, je ne sais pas comment on doit faire..

*pour être plus propre, on faut prendre d'abord des limite en X très grandes, qu'on fait tendre ensuite vers l'infini.

[invite23cdddab]

Pour l'exercice 1), Tu peux le faire sans :

soit z complexe, alors pour tout n, f(z) = f(z/2^n), et comme f est continue, en passant à la limite, f(z) = f(0)

Enfin je trouve très étrange qu'on vous demande d'utiliser le principe du prolongement analytique alors que vous ne l'avez pas vu.


Pour l'exercice 2), l'idée c'est de se servir du fait que l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un rectangle est nulle : on considère alors le rectangle M, -M, i alpha -M, i alpha +M, et on fait tendre M vers l'infini

Comme f est holomorphe, l'intégrale totale est nulle
L'hypothèse donne que l'intégrale de f sur les segments [i alpha +M, M] et [M,i alpha-M] va tendre vers 0, ce qui va entrainer que l'intégrale sur -oo,+oo

[theophrastusbombastus]

Avant tout merci d'avoir prit le temps de me répondre

du coup pour l'exo 1 c'est un peu ce que je pensais ? On se retrouve avec donc la on etudie la limite en l'infini de la suite complexe donc en constatant que on a d'où la fonction est constante. Mais du coup c'est "ca" le prolongement analytique ?

Ahh oui en effet avec le théorème des résidus ça deviens plus claire pour l'application du calcul mais avant de trouver la réponse je voudrai comprendre un peu mieux "l’intérêt" de la question... mais la je me rend compte avec un peu plus de recul que c'est des lacunes de connaissances de cours donc je vais me mettre au travail avant de vous embêter avec des questions "idiotes"

En tout cas encore merci de votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

En fait le prolongement analytique te dis que pour f et g holomorphes sur U, si f=g sur une partie A de U ayant un point d'accumulation, alors f=g sur U

Donc ici, il suffirait de prendre une seule valeur pour z0

Mais en fait ici c'est inutile d'employer ce theorème.

[theophrastusbombastus]

Re-Bonjour,

finalement je reviens sur le deuxième exos, on a eu la correction mais des doutes subsistent... On considère toujours le même énoncé, on peut donc ecrire :


celle du milieu on reconnais celle donné dans l’énoncé mais le fait que cette dernière soit fonction de (donc un réel) change t-il quelque chose ? Ou ca reviens au même car la fonction est holomorphe (analytique) donc "prolongeable des réels aux complexes" ? (la par contre j'ai peur de dire une con**rie)

ensuite on voudrait montrer que :

ca fait un truc comme . On se sert de (et la je crois reconnaître ce que Tryss2 me disait de faire puisque les bornes représentent bien un rectangle, pour la partie plus haut... enfin je me comprend, et on se retrouve avec notre question lorsque R tend vers l'infinis)

sauf que le je ne sais pas trop comment justifier que notre intégrale a gauche de l’inégalité tend vers 0 avec la donnée qu'on a dans l'enoncé... un peu d'aide siouplait m'sieur dame ?

(merci d'avance pour vos réponses)

[invite23cdddab]

sauf que le je ne sais pas trop comment justifier que notre intégrale a gauche de l’inégalité tend vers 0 avec la donnée qu'on a dans l'enoncé... un peu d'aide siouplait m'sieur dame ?

Tu peux majorer assez grossièrement cette intégrale par la longueur du chemin (donc alpha) multiplié par le max de |f| sur le chemin. Mais comme |f(z)| tend vers 0 sur le chemin quand R est grand, l'intégrale va tendre vers 0