Sous espace de matrice

[invite34c17274]

Bonjour,

Je suis bloqué par un exercice de TD. J'essaye vraiment de comprendre j'ai passé vraiment pas mal de temps à comprendre ça alors que ça doit pas être impossible à faire (premier exo). J'ai besoin de votre aide !!!

J'ai mis l'exercice en pièce jointe.

Déjà j'ai assez mal compris l'idée de sous espace vectoriel (et comment montrer qu'une famille est un sous espace vectoriel d'une autre famille).

Ensuite comment on montre que c'est un plan vectoriel d'une matrice ?

Pour la question 2 je me demande comment trouver la dimension de S et de T... Je sais que c'est 4 pour M(2) car matrice carré de 2x2.

J'ai vraiment besoin de vous !

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

la première chose à faire est d'aller lire un cours d'algèbre linaire pour débutant, pour voir ce qu'est un espace vectoriel, et un sous-espace vectoriel. Au passage, tu verras la notion de sous-espaces complémentaires.
Un plan vectoriel est simplement un espace vectoriel de dimension 2 (la dimension des plans !). C'est donc à la question 1 que tu as besoin de "trouver la dimension de S et de T". Pour cela, on cherche une base.
Enfin, quand tu auras vraiment étudié un cours pour savoir de quoi il s'agit et quel est le vocabulaire, tu verras que ta phrase "comment montrer qu'une famille est un sous espace vectoriel d'une autre famille" n'a pas vraiment de sens.

Commence cette étude de cours, et, si tu bloques dans la compréhension, reviens poser des questions précises ici. Normalement, tu trouveras dans ton cours comment procéder pour prouver que S est un sous-espace vectoriel.

Cordialement.

[invite34c17274]

Bonjour,

Tout d'abord, merci pour cette réponse.

J'ai lu et travaillé sur une dizaine cours d'algèbre linéaire différent, je ne comprends que très peu de chose, j'ai l'impression de me noyer ! (Par exemple la notion de Vect(A) = (ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A) ça veut juste dire qu'on multiplie chaque vecteur de A par un scalaire ? La notion de sous espace vectoriel est très vague aussi pour moi même avec le cours sous les yeux à cet instant...)

On parle de stable par les lois internes et externes, c'est cela que je dois appliquer ici ?

Donc, globalement, qu'il s'agisse de M(2) ou n'importe quoi d'autre, il suffit de montrer que S et T sont de dimension deux pour définir un plan vectoriel ?

On vient de commencer les matrices et autant trouver des dimensions sur des systèmes linéaires aucun soucis autant sur S et T je ne comprends pas.
De même pour trouver une base, je sais le faire à partir d'un système linéaire ( échelonné puis rang) mais comment faire avec une matrice (j'ai exprimé S et T en fonction de a/b - c/d ce qui me donne 4 matrices) ?

Merci d'avance

[invitecbade190]

Salut :

Pour :

est une application linéaire injective, donc, d'après le théorème de factorisation : , et puisque : et alors : est un sous espace vectoriel de dimension . idem pour

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok.

Tout d'abord, il faut que tu comprennes qu'en maths, il n'y a rien de caché, les définitions sont totalement précises, sans un mot de trop. Par exemple, un espace vectoriel réel n'est rien de plus qu'un ensemble muni de deux lois convenables (une interne, l'autre externe) qui vérifient les 8 propriétés. De même, vect(A) est exactement l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A, pas ce que tu dis, mais l'ensemble des éléments de l'espace vectoriel E (sous-entendu : (E,+,.) est un espace vectoriel et A est une partie de E) qui s'obtiennent par les calculs faits avec des éléments de A et des réels. Mais tu as raté une marche, tu n'as pas appris ce qu'est une combinaison linéaire.
La suite de ton explication m'inquiète fortement, tu parles de bases à propos de systèmes linéaires !?!? Un système linéaire est un système d'équation, une bas concerne un espace vectoriel, rien à voir. Je me demande si tu ne serais pas passé totalement à côté de la question, traitant en termes d'écritures ce qui est très simple en compréhension.

Donc déjà, les combinaisons linéaires : Si (E,+,.) est un espace vectoriel réel et A une partie de E, une combinaison linéaire d'éléments de A est simplement un élément de E qui s'écrit k₁a₁+k₂a₂+...+k_na_n, où a_1, a₂, ...,a_n sont des éléments de A (un nombre fini d'éléments de A) et k_1, k₂, ..., k_n sont des réels. Comme on peut factoriser, à priori on peut se débrouiller pour que les ai soient tous différents. Une combinaison linéaire des matrices A, U et T est par exemple 2A-3U+0,12547T.

Ensuite, les sous-espaces vectoriels : (E,+,.) étant un espace vectoriel réel, une partie A de E est un sous-espace vectoriel, si, en utilisant les mêmes lois, (A,+,.) est un espace vectoriel. ce qui nécessite (définition des espaces vectoriel - relis-la) que + soit une loi interne (si a et b sont dans A, a+b est dans A), et que . soit une loi externe convenable (si a est dans A et k est un réel, k.a est dans A). Si A est non vide (*), on voit facilement que ça suffit ! Donc en général, pour prouver que A est un sev de (E,+,.), on montre que A est non vide (généralement en montrant que 0_E est dans A) et que + et . sont stables (si a et b sont dans A, a+b est dans A;si a est dans A et k est un réel, k.a est dans A).

Ta question "qu'il s'agisse de M(2) ou n'importe quoi d'autre, il suffit de montrer que S et T sont de dimension deux pour définir un plan vectoriel ?" est un peu inquiétante !! Je te dis ce qu'est un plan vectoriel, pourquoi reposes-tu la question ? Tu n'es pas capable de lire ???

Donc ici, une fois que tu auras montré, en faisant du calcul sur les matrices, que S et T sont des sous-espaces vectoriels, pour prouver que ce sont des plans vectoriels, il te faudra montrer qu'ils sont de dimension 2, donc trouver, pour chacun, une base constituée de 2 matrices, donc prouver que les éléments de S sont des combinaisons linéaires de façon unique de deux matrices particulières (assez faciles à trouver, puisque les éléments de S sont construits à partir de 2 nombres.

Cordialement.

(*) nécessaire pour que la loi + ait un élément neutre.

[gg0]

Chentouf,

ne fais pas le cuistre !! Il est évident que Samminute débute, ce que tu racontes n'est pas compréhensible par lui (Je ne suis pas vraiment sûr que tu comprennes vraiment toi-même; d'ailleurs dire que S est une application linéaire est un abus, et qu'elle est injective une affirmation non prouvée).

Mets-toi au niveau de celui qui pose la question. Si tu en es capable.

[invitecbade190]

Salut :

Pour , et sauf erreur de ma part :
Pour montrer que : , on peut remarquer que, puisque : et , alors : , et donc : , c'est à dire : , et puisque : , alors : .

Cordialement.

Edit : En algèbre linéaire, on commence toujours le cours par les endomorphismes, puis le noyau et l'image de l'endomorphisme, puis le théorème de factorisation, non ? Où est le problème ? Il est en superieur, pas en lycée, non ? C'est le même programme du supérieur partout dans le monde je pense.

[gg0]

Chentouf,

on commence par les espaces vectoriels et sous-espaces. Si tu avais lu le premier message, tu aurais vu qu'il n'en est pas là.

mais je me souviens que tu as toujours eu du mal avec les débuts de l'algèbre linéaire et que tu t'es refusé à les apprendre. Donc évite de "conseiller" sur ce genre de sujets.