Bonjour,
J'aurais une question bête mais elle me prend la tête depuis quelques heures. Je m'explique.
Nous avons donné dans notre cours d'Algèbre que :
A un anneau commutatif et intègre, p e A est dit irréductible si : p=a*b => soit a ∈ U(A) ou b ∈ U(A).
et donc la négation logique :
A un anneau commutatif et intègre, p e A est dit réductible si : p=a*b ET a ∉ U(A) et b ∉ U(A).
On nous donne quelques exemples :
Dans Q[x], x^2 - 2 est irréductible, mais réductible dans R[x] car x^2 -2 = (x-sqrt(2))*(x+(sqrt(2))
Dans R[x], x^2+1 est irréductible, mais réductible dans C[x] car...
Jusqu'à là, okay !
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Mon problème se situe dans des cas plus simple dans les polynômes dans Z[x] et Q[x] et le voilà :
Dans Q[x], 2x+4 est irréductible mais réductible sur Z[x]. Ma question est : "Pourquoi 2x+4 est irréductible dans Q[x] ?"
Je suis d'accord que 2x+4 = 2*(x+2) et les deux facteurs sont non inversible dans Z[x] donc "réductible" MAIS les deux facteurs sont inversibles dans Q[x], du coup, je ne tombe ni dans la définition de réductible, ni dans celle de irréductible. Que signifie donc que mon polynôme est composé de deux éléments inversible ?
On dit pourtant que 2x+4 est irréductible dans Q[x], le seul moyen de le voir est d'écrire 2x+4 = 1*(2x+4) même dans ce cas, les deux éléments sont inversibles.
Est-ce que dans Z[x], 2x irréductible ? Pour moi oui, car 2 n'a pas d'inverse dans Z.
Est-ce que 2x est réductible dans Q[x] ? Non car il n'y a aucun moyen d'écrire 2x = a*b avec a ∉ U(A) et b ∉ U(A).
Si vous pouviez un peu m'éclairer ce serait génial car je bloque.
JK01
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Envoyé par jk01 