Bonsoir, je voulait que vous me dites si ma réponse et juste/ Merci
Je voulais démontrer la proposition suivante::
soit f:X dans R, on a f est continue si et seulement si f est semi-continue inférieurement et semi-continue superieurement.
Voilà ma démonstration supposons que f est continue au point x_0 alors
quelque soit epsilon>0 il existe delta>0 tq : |f(x_0) - f(x)|< epsilon quelque soit |x_0 - x|< delta
donc f(x_0) -f(x) < epsilon quelque soit |x_0 -x|< delta
et on a une proposition qui dit que f est s.c.i au pt x_0 ssi quelque soit epsilon>0 il existe delta>0 tq : f(x_0) - f(x) < epsilon quelque soit |x_0 - x|< delta
et le même résulta est vraie pour la scs.
d'ou on a le resultat souhaité
inversement supposons que f est s.c.i et s.c.s au point x_0
donc par définition limsup f(x)<= f(x_0) et f(x_0) <= liminf f(x) donc limsup f(x)<= f(x_0)<= liminf f(x_0) ceci implique que
- liminf f(x)<= - f(x_0)<= - limsup f(x) (1)
et puisque on a toujours lim inf f(x)<= limf(x)<= limsup f(x) (2)
alors en faisant la somme de (1) et (2) on a 0<= lim f(x) -f(x_0) <= 0 c-a-d que limf(x)= f(x_0) d'ou f continue
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Re : continuité
