Problème en algèbre

[invite7392cbf4]

Bon jour à vous tous !

Je rencontre quelques problèmes en essayant de résoudre un exercice sur les applications linéaires (espaces vectoriels) c'est pour cela que je vous prie de m'aider si possible

Je veux savoir s'il y a une méthode pour montrer que deux espaces vectoriels sont supplémentaires, en utilisant la projection de l'un parallèlement à l'autre (excusez ma mauvaise façon de m'exprimer ...)
ie : je veux prouver que E=E1+E2 en utilisant proj/E1 et E2 d'un x appartenant à E .... est-ce possible ? Si oui,comment le faire ?

Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Qu'est-ce que la projection sur E₁ parallèlement à E₂ ?

[invite7392cbf4]

Bon jour,
Si j'ai bien compris le concept,la projection de E1 parallèlement à E2 est un endomorphisme de E vers E,tel que :
Si x est un vecteur de E ,et x=x1+x2 ,on définit la projection sur E1 parallèlement à E2 par la composante x1
Merci de me dire si je me trompe (ce qui est fort probable...vue qu'on a des difficultés d'assimilation en algèbre )

[gg0]

Bonjour.

A priori, comme la décomposition x=x1+x2 n'est pas unique, la projection n'est pas définie.
Sauf si E1 et E2 sont supplémentaires, si E est somme directe de E1 et E2.
Autrement dit, tu ne peux pas utiliser la projection pour prouver que la somme est directe puisque tu n'as pas de projection définie.

Par contre, si tu définis un projecteur (endomorphisme p vérifiant pop=p) de E, tu peux lui associer deux sous-espaces vectoriels de E tels que p soit la projection de l'un parallèlement à l'autre. Si c'est ça ton exercice, tu as eu tort de de pas le dire

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7392cbf4]

Re bonjour,
merci pour votre explication
En effet,c'est une question d'un exercice qui est un peut trop long,donc,j'ai préféré ne pas l'impliquer et juste voir si mon idée pourrait marcher

Voici l'énoncé,si ça ne vous dérange pas,d'essayer de me guider,car je bloque à un certain niveau :/

" Soit E un espace vectoriel,et f un endomorphisme de E,on pose : k = a*id -f avec a appartenant à R*
Il existe un réel non nul b ,tq : k o f = b*k
Soit E1= ker(k) et E2 = Im(k)

1/Ecrire f² en fonction de f et id(E)
2/Déduire ker(f),conclusion
3/Prouver que f est un automorphisme de E,puis déduire f-1 l'inverse de f
4/Justifier que E1 et E2 sont supplémentaires ( indication : penser à la projection sur E1 parallèlement à E2) "

Pour les premières questions je me suis débrouillé (sauf pour trouver le ker(f),je ne sais pas comment le déduire ),mais pour la dernière,je n'arrive pas à procéder ...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

[gg0]

En effet, l'indication est assez bizarre.

Tu n'as aucune indication supplémentaire sur a et b ?

Tu n'as pas eu d'indication pour ker(f) là où tu avais déjà posé ce sujet ?

[invite7392cbf4]

Hélas,non,aucune information supplémentaire sur ça... il est juste dit que a et b sont deux réels non nuls

Je vous donne ce que j'ai trouvé,peut être que vous serez capables de remarquer une chose qui m'échappe,peut être...

Pour f²= fof après calculs,j'ai trouvé : f²=(a+b)f - ab.id(E) ( j'espère que je ne me trompe pas...) d'ici,je ne sais pas si on pourrait déduire le Ker(f)..y'a t-il une relation entre Ker(f) et Ker(f²) que je ne connais pas peut être ? Ou bien entre Ker(f) et Ker(k) ?

Et pour l'inverse,je trouve que f-1 = (1/ab)*((a+b)id(E) - f) (sauf erreur de calcule de ma part )

Et pour prouver que les deux s-ev sont supplémentaires,j'ai pensé qu'on pourrait prouver qu'un élément de E pouvait s'écrire sous la forme u = u₁ + u₂ où u₁ appartient à Ker(f) et u₂ à Im(f) , mais pour Im(f) je bloque parce que je ne connais pas grand chose sur l'image

Merci

[Resartus]

Si un vecteur V appartient à Ker(f) on aura fV=0 d'où avec l'équation trouvée abIV=0 donc V=0, ker(f) est nul et f est bien un automorphisme... (d'ailleurs, vous avez trouvé son inverse...)
Et attention, on parle ensuite de ker(k) et Im(k)

[gg0]

Pour ker(f), c'est presque fait :
Si x est dans Ker(f), comme f²=(a+b)f - ab.id(E), f²(x)=((a+b)f - ab.id(E))(x) .....

Et le résultat ne peut pas être autre, si f est inversible !!!!

Maintenant, f étant un automorphisme de E, déterminer E1 et E2 ne devrait pas être trop difficile. mais je ne vois pas trop ce que ça apporte. Une autre idée aboutit : pensant aux projecteurs, on examine k² qui est nul si a=b, presque un projecteur si a <> b. dans les deux cas, on devrait arriver à prouver ce qu'il faut, en prenant x=k(x)+(x-k(x)).

Comme je ne suis pas un bon algébriste, je soupçonne qu'il y a quelque chose que je n'ai pas vu.

Cordialement.

[invite7392cbf4]

Veuillez m'excuser de ne pas bien avoir compris l'explication sur le Ker(f)...vous me dites que si x appartient à Ker(f) alors ab.id(x)=0,mais je ne vois pas le rapport avec ker(f)
nous avons : f=0 ----> f(f(x))=0 ---> (a+b)f(x)=ab.id(x) --->f(x)=(ab/a+b).id(x) ----> (ab/a+b).id(x)=0 ---> id(x)=0 mais ceci ne me mène pas à déduire le ker(f)

Je vous prie de me donner plus de détails merci

[invite7392cbf4]

Ahh ! D'accord,je viens de comprendre je m'excuse d’être aussi lourd... pour le Ker(f),je l'ai bien saisit,mais pour la projection,toujours pas si on prenait un vecteur x=x+k(x)-k(x) où est-ce que ceci mènerait ? Je peux utiliser le fait que la projection sur E1 est k(x) (si je ne me trompe pas) et celle sur E2 est x-k(x) ?

[Kairn]

Il faut savoir que Ker(f) est inclus dans Ker(fof)=Ker(f²), parce que si tu prends x dans Ker(f), alors f(x)=0, donc f(f(x))=f(0)=0 .

Donc si tu prends x dans Ker(f), tu as f²(x)=0, c'est à dire (a+b)f(x)+abx=0, et puisque f(x)=0, alors abx=0, et puisque a et b sont non-nuls, alors x=0.
Tu en déduis que Ker(f)={0}.

[Kairn]

En fait j'ai un résultat sympa si b=a-1, mais sinon...

Comme gg0, j'ai l'impression que ya un truc qu'on rate.

[invite7392cbf4]

Merci à vous pour vos réponses
Ah bon Kairn ? Quel genre de résultats je me demande...
Moi aussi je crois que,soit il nous manque des détails concernant cet exercice,soit il nous faut démontrer d'autres trucs pour arriver à répondre à cette question
Vous n'avez encore pas vu la suite du problème,très effrayant une application avec les polynômes et les matrices,je ne vous dit pas

Une petite remarque seulement ...
Et si on ne voulait pas utiliser la projection, est-ce juste de dire que Ker(g)=Ker(aid - f)=ker(f) (car Ker(aid)<=>aid=0 => id=0) et donc Ker(g)=Ker(f) et donc Ker(g) intersection Im(g) = {0} et donc E1 et E2 sont supplémentaires ? (je sais que je viens de raconter des bêtises,mais sait-on jamais )

[invite57a1e779]

" Soit E un espace vectoriel,et f un endomorphisme de E,on pose : k = a*id -f avec a appartenant à R*
Il existe un réel non nul b ,tq : k o f = b*k
Soit E1= ker(k) et E2 = Im(k)

4/Justifier que E1 et E2 sont supplémentaires ( indication : penser à la projection sur E1 parallèlement à E2) "

Dans le plan réel , je considère l'endomorphisme de matrice :



dans la base canonique et les réels non nuls et définis par : .

P.S. : le résultat est vrai lorsque .

Il est facile de vérifier que : a pour matrice dans la base canonique



et que : , c'est-à-dire : .

Mais les sous-espaces vectoriels et ne sont pas supplémentaires, puisqu'ils sont égaux :

.

[gg0]

Heu ... God's Breath !

KF=K donne k o f = b.k; pas k o f =b.f.

Par contre, si a=b, k² est nul; car k²=(a-b)k.

Cordialement.

[invite57a1e779]

Ily a effectivement une faute de frappe dans mon dernier message.

Il faut lire :

, c'est-à-dire : .

Mon exemple prouve bien que le résultat annoncé est faux dans le cadre de l'énoncé.

Je suis absolument certain que la condition : a été oubliée.

[gg0]

Tu redis la même chose, mais K n'est pas la matrice de bf. Donc c'est toujours faux.

Le cas a=b ne pose pas de problème me semble-t-il, simplement E₁=E et E₂={0_E}. C'est l'indication sur la projection orthogonale qui est fantaisiste.

[invite57a1e779]

J'ai décidément un problème avec la frappe.

Il aurait suffi de vérifier la valeur du produit de matrices pour voir où était l'erreur et s'apercevoir que l'ÉNONCÉ EST FAUX comme je me tue à le répéter.

Dans le plan réel , je considère l'endomorphisme de matrice :



dans la base canonique et les réels non nuls et définis par : .

Il est facile de vérifier que : a pour matrice dans la base canonique



et que : , c'est-à-dire : .

Je définis donc un endomorphisme qui satisfait les conditions de l'énoncé.

Mais les sous-espaces vectoriels et ne sont pas supplémentaires, puisqu'ils sont égaux :

.

Comme cet énoncé est faux :
– il n'y a rien d'étonnant à avoir des difficultés à en donner une solution ;
– tout solution proposée est nécessairement erronée.

[gg0]

Ah oui,

c'était k o f = b.k.
Désolé, j'avais oublié l'énoncé.

Bien vu !