Décompositions en algèbre linéaire
Bonjour a tous,
Je veux aujourd'hui savoir la différence entre les décompositions en algèbre linéaire: décomposition en des bases et en des sous-espaces vectoriels supplimentaires! Premièrement, pourquoi y'a des objets mathématiques admettant l'une de ses décompositions et non l'autre (les fonctions par exemple) ?, qui est la "meilleure" ou plutot qui est plus facile a manipuler?
Cordialement.
Bonjour,
Je ne suis pas sûr de vous comprendre: des décompositions en algèbre linéaire il y a en pléthore: décomposition dans une base donnée, décomposition en valeurs propres, décomposition en sous-espaces supplémentaires, décomposition polaire, décomposition svd, décomposition de Tucker, décomposition de Shur, décomposition QR, décomposition LU, PCA, etc.
La "meilleure" décomposition dépend du problème posé et de ce que l'on souhaite faire...
Heuh...je parle de la décomposition dans une base et en sev supplémentaires d'une famille de vecteurs tout simplement (Je m'intèresse pas aux décompositions relatives aux matrices). Ma question est pour ces deux décompositions est ce que l'une est venue pour des insuffisance de l'autre. Pour rendre ce que je dit plus concret j'utilise l'espace vectoriel des fonctions, personnellement je peux pas penser à une base de cet espace or le décomposition en sev supplémentaires est évidemment possible ( classiquement en somme de fonction paire et impaire).
Cordialement.
Il me semble que les décompositions d'un espace vectoriel E en sous-espaces vectoriels supplémentaires ou dans une base donnée revient au même: il suffit de choisir deux bases définissants les sous-espaces supplémentaires. On peut alors décomposer E sur chacune des deux bases et 'recomposer' (générer) la décomposition sur les espaces supplémentaires à partir des décompositions sur leurs bases respectives.
Quant-à votre exemple d'espace de fonctions, celles-ci admettent bien des bases. Suivant l'espace fonctionnel considéré, on peut avoir comme base les fonctions sin et cos (décomposition de Fourrier discrète pour l'espace des fonctions périodiques sur R), les harmoniques sphériques (pour les fonctions périodiques sur la sphère), les polynômes (fonctions analytiques sur R), les ondelettes, etc.
Ce ne sont pas des exemples de base (sous entendu base algébrique).Envoyé par Paraboloide_Hyperbolique
En effet, c'est au sens de Hilbert.
Attention, mathsloveer,
une base ne décompose pas un espace vectoriel. Elle permet d'écrire chacun de ses éléments de façon unique, par combinaison linéaire. Rien à voir avec la décomposition d'un espace vectoriel en 2 (ou plus) sous-espaces vectoriels supplémentaires, qui permet d'obtenir 2 (ou plus) espaces vectoriels permettant de reconstruire l'espace tout entier par simple addition. Très peu de combinaisons linéaires sont des additions.
Par exemple, pour l'espace vectoriel réel des fonctions numériques définies sur [0;1] (avec les opérations habituelles, addition de fonctions, multiplication d'une fonction par un nombre), on ne sait pas exhiber une base (on sait seulement qu'il y en a(*) ...), mais on peut le décomposer en deux sous-espaces vectoriels, par exemple celui des fonctions constantes et celui des fonctions nulles en 0.
Donc ne pas trop rapprocher les deux idées, même si la connaissance d'une base donne une décomposition en droites vectorielles. Ce qui généralement n'est pas très utile !!
Cordialement.
(*) si on admet l'axiome du choix.
Bonjour,
C'est plutôt la relation entre base et sous espaces vectoriels supplémentaires et le fait que de l'une on peut obtenir l'autre( d'une base on peut obtenir jusqu'à n sev supplémentaires pour un espace de dimension n, de même "l'ajout" des éléments des bases d'un nombre de sev supplémentaires donne une base de l'espace entier) qui me permet de dire qu'elle aide à décomposer un espace vectoriel même que c'est pas assez rigoureux. Comme vous dites l'axiome du choix affirme que chaque espace vectoriel de dimension finie ou non possède une base, mais ne donne pas aucun moyen de la trouver( assez comme le thm de bolzano weirstrass pour les suites). Mais j'ai pas compris comment (sin,cos) ne peut pas être base pour les fonctions périodiques?!
Cordialement.
Bah, tu écris comment une fonction periodique discontinue avec une somme finie de sinus et cosinus (donc forcément continue)?Mais j'ai pas compris comment (sin,cos) ne peut pas être base pour les fonctions périodiques?!
Je rappelle que quand on parle de base, on parle de combinaison linéaire finie
Si vous avez une base d'un espace vectoriel, vous pouvez en déduire une décomposition de cet espace en sous espaces vectoriels supplémentaires ( et même de dimension 1 si vous voulez !).
Si vous voulez déduire une base d'une décomposition en sous espaces vectoriels supplémentaires de dimension un, dans le cas le plus général, vous aurez besoin de l'axiome du choix !
Bonsoir Mathsloveer.
Avec des combinaisons linéaires de sin et cos, fonctions sinusoïdales de même période, on n'obtiendra que des fonctions sinusoïdales de la même période, de la forme x--> A sin(x+f).
Donc {sin, cos} est une base de l'espace vectoriel des fonctions sinusoïdales de période 2pi, muni des lois habituelles. Pour l'espace des fonctions définies et périodiques sur R, il va falloir pas mal d'autres éléments dans la base (en fait une infinité).
Cordialement.
Merci gg0 votre raisonnement est bien compris!
Tryss2 merci pour le rappel l'écriture d'un élément dans une base même infinie est une combinaison linéaire finie (par exemple K[X] a une base (X^k)k appartient a N. Evidemment il existe un rang pour les quelles les coordonné de P de K[X] dans la base sont nuls!!) J'éspère que c'est ça que tu as voulu rappeler!!
