Continuité

[avogadro28]

Bonjour

je voudrait vérifier un vrai ou faux :
Toute fonction continue en 0 est continue sur un voisinage de 0
Je pense vrai.

Merci
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

une fonction f du genre:

f(x)=x si x est rationnel et f(x)=0 sinon doit pouvoir répondre à ta question.

RoBeRTo

[avogadro28]

Merci beaucoup donc faux je m'en doutais pas j'avais pas de contre exemple

Une autre vérification j'en ai 5..
Si une fonction admet un minimun local en 0 alors elle décroissante puis croissante au voisinage de 0.
Je pense vrai mais comment le justifié, un tableau peut être...

Encore merci

[RoBeRTo-BeNDeR]

Si elle est continue, c'est possible, si elle ne l'est pas, sûrement pas !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Et même si elle est continue, c'est faux :
(prolongée par 0 en 0) admet un minimum local en 0, mais n'est ni croissante ni décroissante au voisinage de 0

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci Tryss, j'avais une idée de ce genre là, prendre un sinus 1/x mais pas réussi à aller au bout.

[avogadro28]

Merci
Un autre vrai ou faux :
Toute suite réelle admet soit une sous-suite croissante, soit une sous-suite décroissante;
Je pense que c'est vrai mais comment le justifier ?

[Seirios]

Déjà, si le sup de ta suite est infini, tu dois pouvoir construire une sous-suite croissante. S'il est fini, tu peux prendre le sup de la suite comme première valeur, puis le sup des valeurs qui suivent, etc. En formalisant tout ça, tu devrais t'en sortir.

[avogadro28]

J'avais bien vu ce que vous me dites mais c'est justement avec le formaliste que j'ai du mal....

[God's Breath]

si le sup de ta suite est [...] fini, tu peux prendre le sup de la suite comme première valeur, puis le sup des valeurs qui suivent, etc.

Si les bornes supérieures ne sont pas atteintes, le procédé n'extrait pas une sous-suite.

La méthode classique est de considérer l'ensemble :




Si [TEX]E/[TEX] est infini, la suite extraite est décroissante
Si [TEX]E/[TEX] est fini, de maximum , on extrait de une suite croissante.

[avogadro28]

Merci beaucoup, il faut que je m'entraine a faire ce genre de demo mais a force d'en voir cela va venir...

Une autre question :
La relation "être égal à partir d'un certain rang " est une relation d'équivalence sur l'ensemble des suites réelles
c'est faux un=n+1 est il un contre exemple car cette suite est strictement croissante. c'est cela ?

[gg0]

Bonjour.

Pourquoi dis-tu que c'est faux ? As-tu essayé de le prouver ?
la suite est un peu bizarre, car pour un contre exemple à "être égal", présenter un seul objet est idiot ! L'objet est égal à quoi ? Ça rappelle la blague "Quelle est la différence entre un martin-pêcheur ?".
Je ne vois pas non plus de rapport entre la croissance, même stricte, et l'égalité à partir d'un certain rang.

Cordialement.

[avogadro28]

En fait je répond à un vrai ou faux :

l'affirmation suivante est elle vraie ou fausse ?
La relation "être égal à partir d'un certain rang " est une relation d'équivalence sur l'ensemble des suites réelles

[gg0]

Donc tu dis que c'est faux. Pourquoi ?? Quelle est la propriété de définition des relations d'équivalence qui est fausse ?

rappel : Une relation d'équivalence sur un ensemble E est une partie R de E qui vérifie



par habitude, on écrit à la place de . Les propriétés ci-dessus s'écrivent alors :




Quand on parle d'équivalence, c'est toujours entre deux éléments, éventuellement confondus.

Exemples classique : l'égalité; le parallélisme; l'équipotence entre sous-ensembles; toute relation de la forme "avoir le même ..."