Variable aléatoire à densité

[invite4308cf33]

Bonjour

J'ai un exercice corrigé, je n'arrive pas à comprendre. Sûrement une règle de lycée qui m'échappe...

Soient a et b deux réels strictement positifs. X une variable aléatoire réelle de densité , x appartient à R.

1. Trouver b en fonction de a soit bien une densité de probabilité.

Pour qu'elle soit une densité de probabilité, il faut qu'elle vérifie :

Et là ils trouvent

Alors autant je sais intégrer exp(-ax) entre les deux bornes, autant je ne comprends pas pourquoi ils ont sorti "2b" plutôt que b.
Je travaille seule, je sais que ma question aurait probablement sa place dans niveau lycée, mais ça me bloque pour avancer dans l'exercice...

Merci d'avance
-----

[invite9dc7b526]

La densité est symétrique: f(-x)=f(x) donc son intégrale entre -infini et +infini est égale à deux fois son intégrale entre 0 et +infini. Cette loi s'appelle "double exponentielle".

[invite4308cf33]

Aaaaaah d'accord eh bien merci !!

Je ne connaissais pas. Donc quand l'intégrale de la densité est entre -infini et +infini, et qu'on passe entre 0 et +infini, on multiplie systématiquement son intégrale par 2 ? Mais uniquement quand elle est paire f(-x)=f(x) ?

[gg0]

Revois les propriétés élémentaires des intégrales, en particulier quand f est une fonction impaire ou paire.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Aaaaaah d'accord eh bien merci !!

Je ne connaissais pas. Donc quand l'intégrale de la densité est entre -infini et +infini, et qu'on passe entre 0 et +infini, on multiplie systématiquement son intégrale par 2 ? Mais uniquement quand elle est paire f(-x)=f(x) ?

Vous pourriez même démontrer ce résultat en considérant l'intégrale: et ensuite en appliquant un simple changement de variable pour l'intégrale sur [-a, 0]...
(Indication: -0 = +0).

[invite4308cf33]

Effectivement gg0, je vais revoir ça !

Merci Paraboloide, c'est clair maintenant