Bonjour à tous,
Soit à démontrer, si k est un réel positif et I un intervalle de R, l'énoncé:
"Toute fonction numérique réelle k-Lipschitzienne sur I est différence de deux fonctions croissantes sur I, k-Lipschitziennes.''
Je n'arrive pas à démarrer l'analyse du problème. En fait, je ne me représente pas nettement le truc à l'esprit. Voudriez-vous, s'il vous plait, me rapprocher du problème?
L'idée, si tu préfère, c'est de découper f en deux morceaux : g croissante et -h décroissante
Si f était dérivable (et de dérivée continue), on pourrait prendre, pour I = [0,1] :
Ici le problème c'est que f est juste Lipschitz. Est ce que tu sais des choses sur les fonctions Lipschitziennes? (de plus que la définition)
Pardonnez mon absence !
En dehors des implications directes et autres interprétations de la définition de Lipschitzienne (variations bornées, u-continuité...), je ne sais pas grand chose!
Dans le g que vous avez construit, espérant que j'interprète bien, on a g(0)=f(0).
Si f(1/2)<f(0) et f'(1/2)>0 (cela n'est-il pas possible?), on aurait g(1/2)=f(1/2)<f(0)=g(0).
Dans ce que j'ai construit,
On peut ajouter
Donc
Et g et h sont croissantes (on intègre une fonction positive).
Par exemple, si on sait que les fonctions lipschitziennes sont absolument continues (et des trucs sur les fonctions absolument continues), alors la construction que j'ai proposé s'étend aux fonctions lipschitziennes.
Car en fait la décomposition c'est celle que j'ai proposé (elle est unique) : Il faut donc démontrer que si f lipschitzienne, il existe une fonctiontelle que
Merci beaucoup, je m'y mets...
Cordialement.
Bonjour
En utilisant le théorème suivant, ça tombe facilement, avec la méthode proposée par Tryss22 https://en.wikipedia.org/wiki/Rademacher's_theorem
Existe-t-il une manière de démontrer sans la théorie de Lebesgue ?
Cdlt
Bonne question. Je n'en ai aucune idée.Envoyé par GrisBleu
On devrait pouvoir car MAT-I, je suis ! Toutefois, c'est une fiche d'exercices intitulée ''FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE'' que j'eus jadis imprimée sur le web (et dont je ne retrouve pas facilement la trace). La plupart des exercices (du moins les notions abordées) ne sont pas à moi étrangers; mais je bloque sur certains d'entre eux (ce qui est, pour le moins, normal)!
Merci.
Le problème c'est que les fonctions Lipschitziennes peuvent tout de même être assez méchantes :
Il existe des fonctions dérivables de dérivée bornée (donc Lipschitz) qui ne sont monotones sur aucun intervalle (référence) , donc on ne peut même pas découper la fonction en intervalles ou elle est croissante et décroissante.
ah oui, quand même
En fait il y a super simple :
Si f est K lipschitzienne, on prend g(x) = f(x)/2 + (K+1)x et h(x) = -f(x)/2+(K+1)x, et on a le résultat
Wow! La croissance je l'avoue, je ne la vois pas! (avec k.x/2 j'obtiens la Lipschitzianité)
Bravo Tryss2 ! En prenant g(x)= f(x)/2 + k.x/2 et h(x)= -f(x)/2 + k.x/2 on a le résultat!
