Résolution équation AX=Y

[invitece302794]

Bonjour ,
j'aurais besoin d'aide avec cette exercice svp .
merci d'avance pour votre aide
3-Soit A inclus dans M3(R) telle que l'équation AX=(1,2,3) admet une unique solution . Prouver qu'alors pour toute colonne Y l'équation AX=Y admet une unique solution .
je n'ai pas compris ce que je dois faire , est ce que je dois prendre une matrice 3x3 quelconque et résoudre le système ?
si pour tout Y l'équation AX=Y a une solution unique alors Im (A)=R3 et Ker(A)={0} et A est inversible mais comme j'ai pas A je ne sais pas quoi faire ?
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[invite23cdddab]

Le plus simple, c'est de montrer que l'équation AX=(0,0,0) n'admet qu'une solution. Et alors ça montrera que A est inversible

Pour ce faire, suppose qu'il y a une solution non nulle (puisque il y a toujours la solution nulle) : peut tu aboutir à une contradiction?

[invitece302794]

on suppose l'existence de X' non nul tel que AX'=0 alors A est liée et n'atteint pas son rang maximum et n'est pas inversible .
Si l’équation AX=(1,2,3) admet une unique solution alors A est inversible et donc atteint son rang maximum c'est a dire rg f+dim(ker f)=dim E .
et Si X est solution de AX = (1,2,3) et si X' appartient à Ker(A), alors A(X+X')=(1,2,3) ?

[invite23cdddab]

Alors, tu as a peu près tout les éléments, mais dans le désordre ça ne fait pas un raisonnement correct.


Si X est solution de AX = (1,2,3) et si X' appartient à Ker(A), alors A(X+X')=(1,2,3)

Or l’équation AX=(1,2,3) admet une unique solution

Donc X' = ??? et Ker (A) = ???

Ainsi ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitece302794]

Alors X'=0 et Ker(A)={0} ainsi A est inversible et l’équation AX=Y admet une solution unique X=A^-1 Y .

merci beaucoup !!