Espaces vectoriels et endomorphismes
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Espaces vectoriels et endomorphismes



  1. #1
    invite03da2ed8

    Espaces vectoriels et endomorphismes


    ------

    Bonjour, je suis en prépa ECS en première année et bute depuis deux semaines sur un exercice de DM. J'ai beau le retourner dans tous les sens, rien de vient. Si quelqu'un à le temps de me proposer quelques pistes (sachant que je connais mon cours juste, mais même en partant des définition et des données je ne m'en sorts pas) je le remercie d'avance !!!
    Voici l'énoncé et les questions:
    On se propose de trouver les couples (u,v) d’endomorphismes de E = R^2 qui vérifient les quatres propriétés suivantes (où θ est l’endomorphisme nul) : u^2 = u◦u = −idE;
    v différent de idE ;
    (v−idE)^2 = θ ;
    Ker(u + v−idE) est différent de {0} ;
    1. Montrer que, si u et v existent, u et v sont des automorphismes de E et déterminer inverse de u et inverse de v en fonction de u, v et idE.
    2. Pour tout n ∈N, exprimer v^n comme combinaison linéaire de v et idE.
    3. Prouver que Im(v−idE) ⊂ Ker(v−idE), puis que Im(v−idE) = Ker(v−idE).
    4. Démontrer, en raisonnant par l’absurde, que rg(u + v−idE) = 1.
    5. Soit e indice 2 une base de Ker(u + v−idE) ; on pose e indice 1 = −u(e indice 2).
    (a) Montrer que (e indice 1,e indice 2) est une base de E.
    (b) Déterminer u(e1), u(e2), v(e1) et v(e2) en fonction de e1 et e2.
    Conclure.
    Merci d'avance !!

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Espaces vectoriels et endomorphismes

    Bonjour.

    Qu'as-tu fait ? Il ne semble pas très difficile de trouver des inverses à u et v à partir de u◦u = −idE et (v−idE)^2 = θ.

    Rappel : lire http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html.

    Cordialement.

  3. #3
    invite03da2ed8

    Re : Espaces vectoriels et endomorphismes

    J'ai réussi à montrer les inverses mais je n'ai par exemple pas réussi à montrer que u et v sont des automorphismes (en essayant de montrer qu'ils sont injectif ou surjectif), sinon j'ai réussi la 3^^'.
    Merci de m'avoir répondu!
    Très cordialement.

  4. #4
    Tryss2

    Re : Espaces vectoriels et endomorphismes

    Si tu as un inverse, alors tu es bijectif !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite03da2ed8

    Re : Espaces vectoriels et endomorphismes

    Oui mais je dois d'abord prouver la bijectivité puis déterminer les inverses..

  7. #6
    Tryss2

    Re : Espaces vectoriels et endomorphismes

    Mais si tu exhibes directement un inverse, c'est bon, pas besoin de montrer la bijectivité par des méthodes plus évoluées

  8. #7
    invite03da2ed8

    Re : Espaces vectoriels et endomorphismes

    Je fais ça si je ne trouve pas mieux.
    Merci

  9. #8
    Tryss2

    Re : Espaces vectoriels et endomorphismes

    Après tu peux faire des galipettes en chantant la Traviatta, mais c'est perdre du temps pour rien.

    Allez, deux exemples de galipettes pour te faire plaisir :

    Pour u : 1 = det( -Id ) = det(u²) = det(u)² donc det(u) différent de 0 => u inversible

    Pour v : soit x dans Ker(v), alors (v-Id)x = -x donc (v-Id)²x = x et alors x = 0 => Ker(v) = {0} => v inversible

  10. #9
    invite03da2ed8

    Re : Espaces vectoriels et endomorphismes

    J'apprécie l'ironie. Mais merci quand même.

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