Bonjour, je suis en prépa ECS en première année et bute depuis deux semaines sur un exercice de DM. J'ai beau le retourner dans tous les sens, rien de vient. Si quelqu'un à le temps de me proposer quelques pistes (sachant que je connais mon cours juste, mais même en partant des définition et des données je ne m'en sorts pas) je le remercie d'avance !!!
Voici l'énoncé et les questions:
On se propose de trouver les couples (u,v) d’endomorphismes de E = R^2 qui vérifient les quatres propriétés suivantes (où θ est l’endomorphisme nul) : u^2 = u◦u = −idE;
v différent de idE ;
(v−idE)^2 = θ ;
Ker(u + v−idE) est différent de {0} ;
1. Montrer que, si u et v existent, u et v sont des automorphismes de E et déterminer inverse de u et inverse de v en fonction de u, v et idE.
2. Pour tout n ∈N, exprimer v^n comme combinaison linéaire de v et idE.
3. Prouver que Im(v−idE) ⊂ Ker(v−idE), puis que Im(v−idE) = Ker(v−idE).
4. Démontrer, en raisonnant par l’absurde, que rg(u + v−idE) = 1.
5. Soit e indice 2 une base de Ker(u + v−idE) ; on pose e indice 1 = −u(e indice 2).
(a) Montrer que (e indice 1,e indice 2) est une base de E.
(b) Déterminer u(e1), u(e2), v(e1) et v(e2) en fonction de e1 et e2.
Conclure.
Merci d'avance !!
-----