Rang d'applications linéaires

[invited2962bc5]

Bonjour, ça fait quelque temps que je reste bloqué sur un exercice à propos du rang d'applications linéaires:

Soient E et F des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps K.
Soient f:E->F et g:E-> des applications linéaires.
1/Montrer que ker(f) ⋂ ker(g) ⊂ ker(f+g)
Jusque là tout va bien, c'est à la question suivante que je bloque:
2/En déduire rg(f+g) ≤ rg(f) + rg(g)

Voilà ce que j'ai obtenu, à l'aide du théorème du rang:
rg(g+f) = dim(E) - dim(ker(f+g))
rg(f) + rg(g) = dim(E) - dim(ker(f)) + dim(E) - dim(ker(g)) = 2dim(E) - (dim(ker(f)) + dim(ker(g)))

A partir de là je n'avance plus.
Pouvez vous m'aider?
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[Kairn]

Il va falloir utiliser le fait que dim[ker(f)⋂ker(g)] <= dim[ker(f+g)] et la formule de Grassmann, en plus du théorème du rang que tu as déjà écrit .

[invited2962bc5]

Merci beaucoup pour ton aide, je pense avoir trouvé la solution.
En appliquant la formule de Grassmann, je trouve:
rg(f) + rg(g) = 2dim(E) - dim[ker(f) ⋂ ker(g)] - dim[ker(f) + ker(g)]
Etant donné que f et g ont E pour ensemble de départ, on a
dim[ker(f) + ker(g)] ≤ dim(E)
donc
dim(E) - dim[ker(f) + ker(g)] ≥ 0
Par ailleurs, le résultat de la question 1 assure que
dim(E) - dim[ker(f) ⋂ ker(g)] ≥ dim(E) - dim[ker(f+g)] = rg(f+g)
∀n≥0, on a
dim(E) - dim[ker(f) ⋂ ker(g)] + n ≥ rg(f+g)
Pour n = dim(E) - dim[ker(f) + ker(g)], on trouve
2dim(E) - dim[ker(f) ⋂ ker(g)] - dim[ker(f) + ker(g)] ≥ rg(f+g)
rg(f) + rg(g) ≥ rg(f+g)