matrice symetrique et diagonalisation

[invite879984a5]

Bonjour comment diagonalise t'on a l'aide d'une matrice orthogonal ? ou la matrice diagonalisable A est symetrique
merci,
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[invite57a1e779]

Bonjour,

On diagonalise une matrice symétrique comme toute autre matrice.

On commence par déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associés.

Ces sous-espaces sont naturellement orthogonaux deux à deux.

C'est uniquement lorsque l'on détermine une base d'un sous-espace propre qu'il faut construire une base orthogonormée, éventuellement par le procédé de Schmidt.

[invite879984a5]

merci pour votre reponse ,donc en conclusion c'est la meme procédure de diagonaliser pour toutes les matrices mais pour une matrice symetrique si les sous espaces ne sont pas orthogonaux alors on utilise le procédé de schimidt pour ces sous espaces propres puis ce qu'on a obtenu avec le procédé on l utilise pour diagonaliser c'est bien ca ?

[invite57a1e779]

si les sous espaces ne sont pas orthogonaux alors ...

Pour une matrice symétrique, les sous-espaces propres sont nécessairement orthogonaux.

C'est dans chacun des sous-espaces, pour en construire une base orthonormée, que le procédé de Schmidt peut s'avérer bien utile.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite879984a5]

le fait qu'une matrice A soit diagonalisable à l'aide d'une matrice B orthogonale est équivalent au fait que la matrice A est symétrique. Donc les seuls cas où l'on demandera de diagonaliser à l'aide d'une matrice orthogonale seront ceux où la matrice A est symétrique. Maintenant, lorsque tu as une matrice symétrique A, la matrice B dont les colonnes forment une base de vecteurs propres de A n'est pas toujours directement orthogonale et il faut donc Gram-Schmidte que veux dire cela ?

[invite57a1e779]

Comment diagonalises-tu la matrice



en tant que matrice «ordinaire» ? en tant que matrice symétrique ?

Dans les deux cas, les éléments propres sont :
— valeur propre 3 avec droite propre associée D dirigée par le vecteur u=(1,1,1)
— valeur propre 0 avec plan propre associé P d'équation x+y+z=0 (en fait le plan orthogonal à u).

En tant que matrice «ordinaire», on peut choisir comme base de P les vecteurs v=(1,0,-1) et w=(0,1,-1), et on diagonalisera sous la forme avec :



et à calculer. En résumé, la matrice de passage est vite obtenue, mais il faut du travail pour obtenir .

En tant que matrice symétrique, il faudra remplacer le vecteur u par un vecteur u' unitaire qui dirige la droite propre D, en général : u'=u/||u|| ; et il faudra remplacer la base (v,w) du plan propre P par une base (v',w') orthonormée. En petite dimension comme ici, on peut déterminer cette base orthonormée «à vue de nez», mais on sera souvent amené à utiliser une méthode d'orthonormalisation. En résumé, il faut du travail pour obtenir la matrice de passage , mais le calcul de son inverse est immédiat : .