Série convergente

[invite4308cf33]

Bonjour.

Je dois montrer que la série de terme général est convergente mais pas absolument convergente.

Pour la convergence, on sait que le terme général \dfrac{1}{\ln(1+\sqrt{n})} est positif, décroit et tend vers 0, on peut donc dire que la série de terme général Un converge (critère de convergence des séries alternées).

Cependant, pour la convergence absolue, j'ai un petit soucis.

J'ai tenté de majorer par , mais je ne suis pas convaincue que cette majoration soit valable.

Pouvez-vous m'aider ? Ma technique est-elle la bonne ?

Merci d'avance.
Bonne fin de journée.
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[invite4308cf33]

En fait ma majoration ne va pas DU TOUT

[invite57a1e779]

Bonjour,

Un équivalent est plus efficace...

[invite4308cf33]

J'ai fait

est équivalent à (leur quotient tend vers 1).

Du coup leurs inverses seraient équivalents, mais ça coince toujours...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

je suis passé par la formule de stirling, mais il y a probablement plus court.

[gg0]

Bonsoir Perfectina.

J'ai tenté de majorer par , mais je ne suis pas convaincue que cette majoration soit valable.

Le gros inconvénient est qu'en majorant le terme général d'une série par celui d'une série divergente, on ne prouve rien. Pourtant ça marche bien; on peut par exemple étudier la fonction (valeur en 0, sens de variation). et on en déduit une minoration, qui elle, est utile.
Bien évidemment, un équivalent est aussi très utilisable.

Cordialement.

[invite57a1e779]

Je pensais que la divergence de était acquise (par comparaison à …) et que l'équivalent permettrait de conclure immédiatement.

[gg0]

Oui, bien sûr !

Je reprenais seulement une des idées initiales de Perfectina, qu'il suffisait de traiter correctement.

Cordialement.

[invite57a1e779]

Si l'on veut vraiment minorer rapidement, pour assez grand :



minoration valable, a posteriori, pour .

[invite4308cf33]

Oui bien sûr, l'équivalent trouvé tend vers -infini donc la série diverge.

Et effectivement il vaut mieux minorer quand on veut prouver une divergence, et majorer quand on veut prouver une convergence ^^

Merci beaucoup à vous deux !

[invite51d17075]

Et effectivement il vaut mieux minorer quand on veut prouver une divergence, et majorer quand on veut prouver une convergence ^^

ce n'est vrai que pour une suite croissante.
et encore, pour montrer une divergence, si on minore, c'est par autre chose de divergent, sinon on ne prouve rien.

ps: pourquoi -l'infini ??

[invite4308cf33]

Exactement !

Pardon, petite erreur : la courbe n'admet pas de limite plutôt.