espace duaux isomorphes.

[invite0731164c]

Bonjour ,

Si j'ai un isomorphisme T:A->B où A et B sont deux espaces vectoriels de dimension finie, alors l'application transposée de T est un isomorphisme de B* vers A*. Est-ce que c'est toujours vrai en dimension infinie ou il existe des contre-exemples?
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[Médiat]

Bonjour,

Oui, c'est vrai, même en dimension infinie, avec l'axiome du choix (pour assurer l'existence des bases)

[0577]

Bonjour,

il n'y a pas besoin de bases (et donc d'axiome du choix) pour prouver ce résultat ((T^{-1})* est un inverse de T*).

[invite0731164c]

Bonjour,

Pourriez-vous éventuellement me rediriger sur une preuve?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite47ecce17]

Bonjour,
Il n'y a pas besoin de l'axiome du choix ici, si T est un isomorphisme de A vers B, alors T^* (le transposé de T) est un isomorphisme de B* vers A* par fonctorialité.

[Médiat]

Bonjour,

il n'y a pas besoin de bases (et donc d'axiome du choix) pour prouver ce résultat ((T^{-1})* est un inverse de T*).

J'ai du mal a parler de dimension sans base, c'est pourquoi je précise toujours ce point.

Pour la preuve, de mémoire on peut démontrer plus généralement que
T injective => T* surjective et
T surjective => T* injective.

[invitec0f983f7]

bonjour
une preuve de l'isomorphisme entre A* et B* : prendre un élément de A* et "inventer" (à l'aide de l'isomorphisme entre A et B) un élément de B* , refaire la même chose avec un élément de B* pour construire un élément de A* ... vérifier que les constructions sont réciproques l'une de l'autre.

Un espace de dimension infinie (non finie) est un espace qui contient un famille libre finie de cardinal aussi grand que l'on veut.

[invite23cdddab]

Et l'isomorphisme est (il me semble) assez évident.

Si on note l'isomorphisme entre et , alors défini par est un isomorphisme

[invite0731164c]

d'accords .