Distribution : unicité de la solution à A*X=B (* : produit convolution)

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Je lis un cours sur les distributions où il est écrit le théorème suivant :

Soit une algèbre de convolution "Alg".

L'équation A*X=B (* étant le produit de convolution) admet une solution dans "Alg" quelque soit B appartenant à "Alg"

ssi il existe A^(-1) l'inverse de convolution de A dans cette algèbre

Dans ce cas la solution pour X est unique et vaut X=A^(-1)*B

Seulement le théorème ne porte pas de nom et n'est pas démontré.

Connaissez vous une démonstration facile d'accès (j'ai principalement un bagage de physicien avec des notions en maths que je suis entrain d'approfondir) de ce théorème ?

Déjà pour moi ça n'est pas évident que la solution soit unique ni qu'elle s'écrive forcément en faisant intervenir l'inverse de A (par exemple avec des matrices, on peut trouver une solution à AX=B sans faire intervenir l'inverse de A si A non inversible).

Merci !
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[invite57a1e779]

quelque soit B appartenant à "Alg"

Cette quantification universelle sur B est essentielle.

Rappel : la distribution de Dirac à l'origine est élément neutre pour le produit de convolution qui est commutatif.

Théorème direct : si l'équation admet une solution quel que soit , alors, cas particulier l'équation admet une solution qui est l'inverse de convolution de .

Théorème récirpoqe : s'il existe , inverse de convolution de , alors, quel que soit , on pose et on vérifie facilement :



De plus cette solution est alors unique car, si , alors :

[invite8f6d0dd4]

Parfait merci beaucoup !

En effet je n'avais pas bien fait attention au fait que c'est vrai pour TOUT B dans l'algèbre ce qui assure l'existence de A^(-1). Après ça coule tout seul.