Convolution, distribution

**Murmure-du-vent** · 27/10/2015, 09h37

Bonjour

sinc etant la fonction sin(x) / x et * la convolution de fonctions ou de distributions, je cherche les fonctions ou distributions à 2 variables F(k,E) verifiant
F = (E^2 - k^2) F = sinc(E) * F
Pourriez vous m'aider?
Je ne suis pas sur que le probleme a des solutions.

**gg0** · 27/10/2015, 10h05

Bizarre ce que tu as écrit : "F = (E^2 - k^2) F = sinc(E) * F"
Pour la plupart des valeurs de E et k, la première égalité (F = (E^2 - k^2) F) est fausse !

Cordialement.

**Murmure-du-vent** · 27/10/2015, 10h18

Bien sur mais ce n'est pas une egalité à prouver mais une équation à résoudre. Je suis ici dans l'espace obtenu par transformée de Fourier de 'x,t) et je cherche à obtenir des solutions de l'équation de Klein Gordon (avec m = 1) c'est la premiere egalité avec en plus une contraint sur ses valeurs qui doivent etre nulles pou |t| > 0.5 La deuxieme egalité utilise la transformee de Fourier de la fonction porte pour t.

**gg0** · 27/10/2015, 10h22

Désolé,

mais ça ne règle pas la question. Tu sembles même ne pas avoir lu ce que tu as écrit ! Tu parles de deux égalités (deux équations ??), peux-tu les écrire sur deux lignes, car écrit comme ça, la seule solution générale (hors des deux droites E=k et E=-k) est F=0.

Avant de résoudre un problème, il faut être capable de l'écrire.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Murmure-du-vent** · 27/10/2015, 10h30

F(k,E) = (E^2 - k^2) F(k,E) (Klein Gordon)
F(k,E) = sinc(E) * F(k,E) condition sur le support.

invite02232301 · 27/10/2015, 10h37

Bonjour,
Le fait que F=(E²-k²)F impose que F soit à support dans {E=k}union{E=-k}... je vois pas vraiment le souci....
J'ai tendance à penser que tes solutions sont justement les courants d'intégration $\text{[math]}$ ou a et b sont des fonctions lisses sur les droites en question.. Supposes tu que tes distributions sont d'ordre fini?
Je suis pas sure que tu aies des solutions communes cela dit. Faudrait verifier deja si les $\text{[math]}$ sont solutions de la seconde equation.... à faire.

**gg0** · 27/10/2015, 10h40

Dans l'équation de Klein-Gordon, k et E ne sont pas "deux variables" !!

Il y a manifestement un souci. Comment as-tu obtenu cette égalité qui dit que F(k,E)=0 ou que E²-k²=1 ?

**Murmure-du-vent** · 27/10/2015, 10h45

Mon probleme général (il dépasse ma question simplifiée) est d'obtenir des solution à l'équation de Klein Gordon sur l'espace temps qui
soient indéfiniment dérivables et à support compact.
Je cherche ainsi à trouver d'abod des solutions qui soient nulles pour t hors de [-0.5 0.5] c'est pourquoi j'essaie avec la transformee de Fourier de la fonction porte. Les equations se transportent par Fourier jessaie de trouver les solutions dans (k,E) puis de revenir dans l'espace de départ.

invite02232301 · 27/10/2015, 10h49

Ce qui se passe en 0 est un peu mysterieux puisque pour tout vecteur a tu as $\text{[math]}$ qui est solution, en effet (apres un changement de variable evident), tu as $\text{[math]}$ .
Du coup tu as toute une famille de solutions $\text{[math]}$

invite02232301 · 27/10/2015, 10h51

Envoyé par Murmure-du-vent

Mon probleme général (il dépasse ma question simplifiée) est d'obtenir des solution à l'équation de Klein Gordon sur l'espace temps qui
soient indéfiniment dérivables et à support compact.

Heu si tu cherches des solutions lisses à ton équation, alors il n'y a que la solution nulle.

**gg0** · 27/10/2015, 10h51

Oui, et alors ?

Si tu es tombé sur F(k,E) = (E^2 - k^2) F(k,E), les conséquences sont immédiates; faciles à voir. Je viens de te les rappeler.

Quant à la deuxième condition, elle a peu de sens :
F(k,E) = sinc(E) * F(k,E)
en effet sinc n'est pas une unité du produit de convolution.

J'ai l'impression que tu as fait un peu n'importe quoi .... mais comme tu n'as pas donné tes calculs ...

**Murmure-du-vent** · 27/10/2015, 10h53

Je ne cherche pas une solution unique.
Je cherche des solutions dans l'espace temps à support compact
Toute autre solution avec une autre methode que celle que je tente serait la bienvenue.
.

**Murmure-du-vent** · 27/10/2015, 10h57

Envoyé par gg0

Oui, et alors ?

Si tu es tombé sur F(k,E) = (E^2 - k^2) F(k,E), les conséquences sont immédiates; faciles à voir. Je viens de te les rappeler.

Quant à la deuxième condition, elle a peu de sens :
F(k,E) = sinc(E) * F(k,E)
en effet sinc n'est pas une unité du produit de convolution.

J'ai l'impression que tu as fait un peu n'importe quoi .... mais comme tu n'as pas donné tes calculs ...

Quand tu dis que sinc n'est pas une unité çà montre que ti n'as toujours pas compris que ce nest pas une égalité à prouver mais une équarion dont on cherche des solutions. Ne te précipite pas pour rabaisser les autres.

**gg0** · 27/10/2015, 16h13

Quand tu dis que sinc n'est pas une unité çà montre que ti n'as toujours pas compris que ce nest pas une égalité à prouver mais une équarion dont on cherche des solutions. Ne te précipite pas pour rabaisser les autres.

je n'ai pas besoin de rabaisser qui que ce soit, je ne suis pas responsable de ce que tu écris. Et soit les mathématiques ont changé depuis peu sans que j'en sois averti, soit ce que tu as écrit a les conséquences dont je parle. Mais manifestement, tu ne veux pas tirer les conséquences logiques de ce que tu as trouvé (F=0, comme te l'a dit MiPama) ni faire attention à ce que tu écris (F(k,E) = sinc(E) * F(k,E) qui n'a aucun sens si f n'est pas nul et aucun intérêt si F est nul).
A noter : une équation est une égalité (avec des inconnues). mais peut-être ne sais-tu pas ce que veut dire "équation".

Je te laisse puisque te dire la signification mathématique de ce que tu écris te "rabaisse".

invite02232301 · 27/10/2015, 16h51

De deux choses l'un.
Soit tu cherches les solutions lisses, et le probleme est pas tres interessant. Il n'y a que 0.
Soit tu cherches les solutions qui sont des distributions et le probleme devient bcp pls interessant, tu as par exemple tout une famille de solutions non nulles que je t'ai donné. Ce sont les seules je pense.
Si tu cherche uniquement les solutions ditributions à support compact alors tu doit imposer que mes a et b soit à support compact eux memes.

**Murmure-du-vent** · 27/10/2015, 17h34

J'ai deux espaces le premier c'est l'espace temps de Minskowski. les coordonnées y sont x t . L'équation de KG y est une EDP. J'y cherche des solution lisses à support compact. Par une QUATRE transformation de fourier j'envoie ces fonctions sur un autre espace des moments energie (les pariables y sont k et E) sur cet espace l'équation de KG devien une multiplication par un polynome. Les solutions transformées n'y sont pas lisses, ce sont de distributions.
Revenons à Minkowski. Une solution de KG à support borné S est invariante en la multipliant par l'indicatrice de S (1 dans S 0 en dehors. cette fonction "porte"
à de façon generale une 4 transformée que je note sinc.
Une solution de KG à support compact dans Minkowski est envoyéee par 4 fourier en une fonction invariante par la convolution par sinc.

Désolé de tout disséquer mais gg0... Bref je cherche si une solution au probleme ainsi translaté dans l'espace des moments energie me permettrait de trouver par transformée inverse une solution lisse à support compact. OUF

**Universus** · 29/10/2015, 21h47

Bonjour,

Ce genre de question me dépasse très rapidement, en raison de la diversité des approches qui sont au final (en ce qui me concerne) souvent difficile à relier explicitement les unes aux autres et du fait que la validité d'une approche est intimement liée à toutes sortes d'hypothèses de régularité qui m'échappent aussi bien souvent. J'ai quelques remarques tout de même.

La transformée de Fourier est un automorphisme de l'espace des fonctions de Schwartz. En particulier, la transformée de Fourier d'une fonction lisse à support compact est une fonction lisse (certes de support non compact, à l'exception de la fonction nulle). Considérant les propriétés de l'équation de Klein-Gordon, il en résulte que la seule solution lisse à support compact est, effectivement, la fonction nulle...

Cliquez pour afficher

Les résultats que je présente ici semblent aller à l'encontre des messages précédents. Si nous écrivons $\text{[math]}$ , nous avons bien (selon la seconde approche) $\text{[math]}$ . Cela force effectivement le support de $\text{[math]}$ à appartenir à $\text{[math]}$ . Encore que la réécriture $\text{[math]}$ force le support à appartenir à $\text{[math]}$ . La seule manière de ne pas avoir que la fonction nulle est d'avoir m=0, qui correspond à l'équation des ondes. Dans ce cas, j'ai bien l'impression que les solutions proposées par MiPaMa fonctionnent, correspondant dans l'espace-temps (je pense) à des ondes planes dont le support est très peu compact... Mais là, je suis dépassé.

Cordialement,

Un dépassé

**Murmure-du-vent** · 30/10/2015, 19h24

Merci pour ta réponse Universus. J'ai regardé ton encadré 1 avec la 3 transformée de Fourier.
$\text{[math]}$ est effectinement solution de l'équation en (t,p) avc des constantes A et B
mais çà marche aussi si A et B sont des fonctions de p. De plus l'onde plane exp(i(p_0 x - \omega_0 t) qui une solution de KG dans (x,t)
se transporte par 3 fourier en une expression ou intervient $\text{[math]}$ donc A et B peuvent erte des distributions. La decomposition en onde planes de l'équation de la particule libre ou A et B sont des fonctions reelles de p peut n'etre qu'un cas particulier des solutions possibles.
Il reste à mon avis a trouver la solution la plus generale possible qui excluerait les fonctions à support compact.

**Murmure-du-vent** · 30/10/2015, 19h47

J'ai eu cette reponse de ValterMoretti sur un autre site:

No, they cannot. There is no non-vanishing smooth KG solution with compact support. Let $\text{[math]}$ be a compactly supported solution (I assume $\text{[math]}$ , the massless case is a bit more complicated) and $\text{[math]}$ the associated stress energy tensor. The integral of $\text{[math]}$ over a spacelike Cauchy surface at constant Minkowski time, $\text{[math]}$ , does not depend on the chosen Cauchy surface.

Since the support of $\text{[math]}$ is compact we can fix $\text{[math]}$ far away from the support of $\text{[math]}$ , obtaining $\text{[math]}$ on $\text{[math]}$ which, in turn, implies that
$\text{[math]}$ (because $\text{[math]}$ ) and thus
both $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ vanishes on $\text{[math]}$ just in view of the form of $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ). Since $\text{[math]}$ is a Cauchy surface, we have that $\text{[math]}$ everywhere in the spacetime.
Dealing with a generic globally hyperbolic spacetime you can rearrange this proof.

Je vais etudier cette réponse qui confirme la non existence hors de la solution nulle. Moretti a ecrit des textes sur la theorie des champs en espace courbe.
Je vais étudier cette reponse dont je ne doute pas.

**Universus** · 31/10/2015, 16h28

Bonjour,

Envoyé par Murmure-du-vent

J'ai regardé ton encadré 1 avec la 3 transformée de Fourier.
$\text{[math]}$ est effectinement solution de l'équation en (t,p) avc des constantes A et B
mais çà marche aussi si A et B sont des fonctions de p.

En effet, je suis allé trop vite en affaire : A et B peuvent dépendre de p. D'ailleurs, en effectuant la transformée de Fourier inverse, j'ai oublié d'intégrer $\text{[math]}$ qui dépend de p...

Dans tous les cas, si nous écrivons $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ est à support compact, alors il existe $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Donc il faut que la convolution par $\text{[math]}$ annihile la fonction non nulle $\text{[math]}$ . Cette information est difficile à utiliser directement.

En refaisant la transformée de Fourier, nous avons ainsi $\text{[math]}$ pour tout p. Ceci n'est possible que si $\text{[math]}$ sur le support (non compact) de $\text{[math]}$ , ce qui n'est possible que si $\text{[math]}$ sur ce support (puisque ça doit être vrai quel que soit $\text{[math]}$ ). Il en résulte que $\text{[math]}$ pour tout t, donc nous retrouvons bel et bien $\text{[math]}$ .

Mon deuxième encadré m'apparaît aussi assez révélateur.

De plus l'onde plane exp(i(p_0 x - \omega_0 t) qui une solution de KG dans (x,t)
se transporte par 3 fourier en une expression ou intervient $\text{[math]}$ donc A et B peuvent erte des distributions. La decomposition en onde planes de l'équation de la particule libre ou A et B sont des fonctions reelles de p peut n'etre qu'un cas particulier des solutions possibles.
Il reste à mon avis a trouver la solution la plus generale possible qui excluerait les fonctions à support compact.

Certes, mais vous cherchez des solutions (possiblement distributionnelles) à support compact. Cela force leur transformée de Fourier à ne pas avoir un support compact. Ce n'est pas le cas de l'onde plane... Bref, la solution « onde plane » n'est pas incompatible avec ce que j'ai écrit.

Envoyé par Murmure-du-vent

J'ai eu cette reponse de ValterMoretti sur un autre site:

No, they cannot. There is no non-vanishing smooth KG solution with compact support. Let $\text{[math]}$ be a compactly supported solution (I assume $\text{[math]}$ , the massless case is a bit more complicated) and $\text{[math]}$ the associated stress energy tensor. The integral of $\text{[math]}$ over a spacelike Cauchy surface at constant Minkowski time, $\text{[math]}$ , does not depend on the chosen Cauchy surface.

Since the support of $\text{[math]}$ is compact we can fix $\text{[math]}$ far away from the support of $\text{[math]}$ , obtaining $\text{[math]}$ on $\text{[math]}$ which, in turn, implies that
$\text{[math]}$ (because $\text{[math]}$ ) and thus
both $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ vanishes on $\text{[math]}$ just in view of the form of $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ). Since $\text{[math]}$ is a Cauchy surface, we have that $\text{[math]}$ everywhere in the spacetime.
Dealing with a generic globally hyperbolic spacetime you can rearrange this proof.

Je vais etudier cette réponse qui confirme la non existence hors de la solution nulle. Moretti a ecrit des textes sur la theorie des champs en espace courbe.
Je vais étudier cette reponse dont je ne doute pas.

C'est une belle façon de voir les choses (les considérations énergétiques sont souvent les meilleures, même si elles peuvent être quelque peu sophistiquées). La stratégie globale ici est essentiellement la même que ce que j'ai écrit ci-dessus.

1) On associe à la solution une quantité indépendante du temps, à savoir $\text{[math]}$ pour ValterMoretti et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ci-dessus.
2) On utilise la compacité du support afin de choisir un instant (ou un intervalle d'instant) où la solution est nulle afin de calculer l'invariant choisi et montrer qu'il s'annule.
3) Si l'invariant est bien choisi (là $\text{[math]}$ est une surface de Cauchy, ici A(p) et B(p) déterminent la transformée de Fourier), alors l'annulation de cet invariant détermine la solution totale, en fait son annulation identique.

**Murmure-du-vent** · 31/10/2015, 18h14

J'ai bien noté la similitude de votre réponse avec celle de Moretti. La sienne est celle d'un physicien qui pense immediatement conservation d'energie impulsion. Comment peut on définir pour un mathematicien la quantité conservée (dans le temps) associée (par integration sur une surface de Cauchy)
à une equation différentielle?

**Murmure-du-vent** · 31/10/2015, 21h54

Avec le theoreme de Noether?

**Universus** · 01/11/2015, 15h27

Bonjour,

Il est vraisemblable que Moretti fasse allusion au tenseur énergie-impulsion obtenu comme le courant de Noether associé aux translations spatio-temporelles du lagrangien de Klein-Gordon. Selon cet article Wikipedia anglophone, si nous prenons $\text{[math]}$ et la métrique de signature $\text{[math]}$ , alors l'équation de Klein-Gordon

$\text{[math]}$

admet pour lagrangien

$\text{[math]}$

dont le tenseur énergie-impulsion satisfait $\text{[math]}$ , qui est effectivement un réel positif.

Nous pourrions alternativement utiliser le formalisme hamiltonien (non covariant) de la théorie des champs. Dans ce cas,

$\text{[math]}$

qui s'avère être $\text{[math]}$ . C'est une quantité positive donc et puisque ce hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, il est conservé.

Les deux approches ne sont évidemment pas étrangères l'une à l'autre, puisque le hamiltonien correspond à la charge de Noether associée à l'invariance temporelle.

**Murmure-du-vent** · 02/11/2015, 09h31

Le fait d'avoir trouvé un Lagrangien indépendant du tempsayant pour equation du champ l'équation de KG permet de définir un tenseur d'énergie impulsion. Et de conclure.
Un petit point de détail cependant. Moretti parle de trnseur d'energie associé. Hors plusieurs lagrangiens differents peuvent avoir la meme equation de champ. Y a t il ici un abus de langage ou y a t il reellement UN tenseur energie impulsion associé?

**Universus** · 02/11/2015, 14h32

Envoyé par Murmure-du-vent

Le fait d'avoir trouvé un Lagrangien indépendant du tempsayant pour equation du champ l'équation de KG permet de définir un tenseur d'énergie impulsion. Et de conclure.

Oui, c'est ce que j'ai dit dans mon précédent message.

Un petit point de détail cependant. Moretti parle de trnseur d'energie associé. Hors plusieurs lagrangiens differents peuvent avoir la meme equation de champ. Y a t il ici un abus de langage ou y a t il reellement UN tenseur energie impulsion associé?

En effet, plusieurs lagrangiens peuvent mener aux mêmes équations du mouvement. C'est pour cette raison que j'ai écrit dans mon précédent message que l'équation de Klein-Gordon admet le lagrangien mentionné.

Souvent, un lagrangien est meilleur qu'un autre pour diverses considérations, dont assurément les symétries. Qu'importe ces considérations, au final, on en vient à parler « du » lagrangien associé à telle équation. Partant de là, il y a un sens à parler du tenseur d'énergie-impulsion associé (au lagrangien).

Remarque : Pour un lagrangien donné, il y a plusieurs constructions non équivalentes du tenseur d'énergie-impulsion. Ainsi, en parlant « du » tenseur associé, une construction précise est implicite. Pour Moretti, il s'agit vraisemblablement du courant de Noether associé aux symétries spatio-temporelles. Quoiqu'il mentionne le cas d'espaces-temps plus généraux, dans quel cas le groupe de symétrie est peut-être trop petit ; le tenseur d'Einstein-Hilbert est peut-être celui sous-entendu alors. Sauf erreur, sur l'espace de Minkowski, les deux constructions coïncident.

Pour revenir à votre question, à savoir « est-ce que deux lagrangiens donnant lieu aux mêmes équations du mouvement ont des tenseurs énergie-impulsion identiques ? », il s'agit d'une question subtile. Il y a une méthode systématique pour produire des lagrangiens « équivalents » (au sens où leurs équations d'Euler-Lagrange coïncident), utilisant une transformation de jauge : on ajoute à un lagrangien donné une différentielle totale des coordonnées q et du temps. Ce faisant, il est possible de briser des symétries du lagrangien, dans quel cas la construction élémentaire du courant de Noether n'est plus possible. Une construction un peu plus sophistiquée existe, où nous ne cherchons pas pour des symétries du lagrangien, mais pour des symétries « modulo une transformation de jauge », dans quel cas nous obtenons bel et bien le même tenseur énergie-impulsion.

Par contre, deux lagrangiens équivalents ne diffèrent pas forcément d'une transformation de jauge. Une autre construction générale pour obtenir des lagrangiens équivalents est de post-composer un lagrangien L (supposons-le indépendant du temps) par une fonction $\text{[math]}$ . En effet, l'équation d'Euler-Lagrange associée est

$\text{[math]}$ .

Le long des trajectoires physiques de L, dans le membre de droite ci-dessus, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et l'égalité est satisfaite : il s'agit de trajectoires physiques de $\text{[math]}$ . Si la fonction f est inversible, alors l'implication inverse tient et les trajectoires physiques coïncident : les deux lagrangiens sont équivalents. Il est assez clair que les symétries de L sont des symétries de $\text{[math]}$ , mais les tenseurs énergie-impulsion respectifs diffèrent en général.

Deux lagrangiens peuvent être équivalents sans être reliés par cette autre construction. Je n'ai pas d'exemple à l'esprit, mais j'en ai déjà vus. Dirac a réfléchi à ces questions, alors vous trouverez peut-être davantage d'information sur le sujet auprès de lui si ça vous intéresse.

**Murmure-du-vent** · 02/11/2015, 19h14

Universus, merci pour toutes ces réponses qui vont au delà de ma question initiale.
En y regardant de pres les relations entre Lagrangien, Hamiltonien, equations de Euler -Lagrange ou Hamilton sont beaucoup moins simples qu'il n'y parait.
J'ai ainsi trouvé ce fil en anglais

J'y ai trouvé pour la premiere fois la notion de convexité du Lagrangien en q'.
.

**Universus** · 02/11/2015, 21h42

Veuillez ignorer le passage suivant dans ma précédente réponse :

Envoyé par Universus

Par contre, deux lagrangiens équivalents ne diffèrent pas forcément d'une transformation de jauge. Une autre construction générale pour obtenir des lagrangiens équivalents est de post-composer un lagrangien L (supposons-le indépendant du temps) par une fonction $\text{[math]}$ . En effet, l'équation d'Euler-Lagrange associée est

$\text{[math]}$ .

Le long des trajectoires physiques de L, dans le membre de droite ci-dessus, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et l'égalité est satisfaite : il s'agit de trajectoires physiques de $\text{[math]}$ . Si la fonction f est inversible, alors l'implication inverse tient et les trajectoires physiques coïncident : les deux lagrangiens sont équivalents. Il est assez clair que les symétries de L sont des symétries de $\text{[math]}$ , mais les tenseurs énergie-impulsion respectifs diffèrent en général.

J'ai commis une erreur. En général, $\text{[math]}$ le long d'une trajectoire physique. En fait, le long d'une solution à l'équation d'Euler-Lagrange de L, il est bien rare que L soit constant. En général, post-composer L par une fonction f ne donne pas un autre lagrangien du même système. J'ai été confus par le fait que ça se produit à l'occasion, par exemple lorsque f est linéaire (pas bien intéressant) ou lorsque L est le lagrangien d'une particule libre.

Je ne peux pas vous contre-dire sur la subtilité de ces formalismes et de leurs relations. Notez par exemple que la fonction L(q,q',t)=q ne peut être le lagrangien de quoi que ce soit, tandis que la fonction L(q,q',t) = q' n'impose aucune contrainte via les équations d'Euler-Lagrange (et ne correspond à aucun système hamiltonien via la transformée de Legendre, faute de convexité stricte). Il me semble bien aussi qu'il y a des situations où plusieurs lagrangiens correspondent à un même hamiltonien...

Convolution, distribution

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