Interprétation des B-splines

[invite9781bd99]

Bonjour à tous,

Je donne le contexte : On dispose de n+1 points, de P0 à Pn ; et on souhaite construire une courbe qui "approximent" ces points. Les courbes de Bézier et les B-splines sont assez connues.

Regardons les courbes de Bézier. On a :
où .
Ce qui est intéressant est la formule de récurrence des polynôme de Bernstein :
Cela signifie que B_i_n est une interpolation linéaire de B_i_(n-1) et B_(i-1)_(n-1).

Regardons le cas des B-splines :
on se donne m+1 réels , on définit par récurrence sur k, pour i = 0 ... m - 1 - k :

si sinon pour
et


Pourtant, bien que cela y ressemble, ce n'est pas une interpolation linéaire ? Du coup, je ne visualise pas bien cette construction.

(j'essaie de m'aider de ce lien http://www.math.u-psud.fr/~pansu/web...e/bsplines.pdf en page 2, ils expliquent qu'il considère un point Pi(t) mobile entre Pi-1 et Pi, et ça, je n'ai pas compris).

Merci.
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

On peut en effet "voir" les relations de récurrences des courbes de Bézier comme une succession d'interpolations linéaires entre points. L'idée est de prendre les points de départs (donnés) et d'interpoler linéairement de nouveaux points dans chaque segment . A noter que les points interpolés sont moins nombreux que les points de départ (il y en a exactement 1 en moins).

Ensuite on prend les points interpolés comme étant des points de départ et on calcule une nouvelle interpolation linéaire (qui comptera N-2 points). On recommence ainsi jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul point. Ce dernier point est un point de la courbe de Bézier.

Cette procédure donne un algorithme de construction des courbes de Bézier et est dû à De Casteljau. A noter que bien que l'on fasse une succession d'interpolations linéaires, le résultat final n'est pas une interpolation linéaire.

Un algorithme (très) similaire existe pour les courbes B-spline dû à Cox et De Boor. Il s'agit toujours d'effectuer des interpolations linéaires successives, sauf que celles-ci sont pondérées par les noeuds ti et que chacune d'entre elles n'est réalisée que sur un sous-ensemble des points considérés (sous-ensemble dépendant du nombre de noeuds et du degré de la courbe B-spline).

Peut être que les schémas présenté dans le lien suivant vous aideront: https://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSE...e/de-Boor.html