Nombres complexes.
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Nombres complexes.



  1. #1
    invite52487760

    Nombres complexes.


    ------

    Bonjour à tous,

    Soit l'application - linéaire définie par : .
    Alors, il est claire que : est un isomorphisme, et donc : via cet isomorphisme.
    D'autre part, on sait que : via l'isomorphisme - linéaire : défini par : .
    Par conséquent, via l'isomorphisme - linéaire : . Ce qui n'est pas possible, car on sait tous que : . Qu'est ce qui ne va pas dans cette histoire ?

    Merci pour votre éclairage.

    -----

  2. #2
    invite75014153

    Re : Nombres complexes.

    Bonjour ! Il me semble que l'espace d'arrivée de est l'ensemble des couples de complexes conjugués. En conséquence il ne s'agit pas d'un isomorphisme car il existe des éléments de qui n'admettent pas d'antécédent par , il suffit qu'ils ne soient pas conjugués. Typiquement le coupleappartient à et n'a pas d'antécédent par . Cela indique que l'espace d'arrivée de phi est "plus gros" que l'espace de départ.
    En revanche vous redémontrez que l'ensemble des complexes conjugués a une dimension 2 !

    Cordialement
    Dernière modification par eldor ; 10/08/2016 à 14h32.

  3. #3
    Tryss2

    Re : Nombres complexes.

    Il est clair que phi n'est PAS un isomorphisme. Parce que phi n'est tout simplement pas bijective. Par exemple, quel serrait l'antécédent de (i,3) par phi?

  4. #4
    minushabens

    Re : Nombres complexes.

    D'ailleurs il n'existe aucun isomorphisme entre R^2 et C^2 vus comme R-espaces vectoriels, vu qu'ils n'ont pas la même dimension.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite52487760

    Re : Nombres complexes.

    Bonjour,

    D'accord, je vous remercie tous pour ces éclaircissements. Néanmoins, sur le pdf çi joints, page : , on dit que pour une fonction : , on a : . Pourquoi alors, ? est ce parce que : ( invariante par pour tout ) ? c'est .

    Merci d'avance.
    Images attachées Images attachées

  7. #6
    minushabens

    Re : Nombres complexes.

    c'est difficile à comprendre en ne lisant que la page 66, mais il me semble qu'il s'agit d'un simple changement de paramétrisation. Il passe d'un fonction de deux variables réelles à une fonction de z et de son conjugué. L'ensemble des (z,z-barre) est bien en bijection avec C ou R^2, par (x,y) -> (x+iy,x-iy)

  8. #7
    invite52487760

    Re : Nombres complexes.

    Merci minusha.
    Je crois que je commence à comprendre.
    Donc : .
    est -il possible de diagonaliser : définie : ? Comment trouver la décomposition de en somme de sous espaces propres ? Ce qui me gène, est que est simplement une application linéaire et non un endomorphisme, alors, je ne sais pas si on peut appliquer une diagonalisation. On peut voir comme : , alors, je ne sais pas si ça peur aider.

    Merci d'avance pour votre aide.

  9. #8
    minushabens

    Re : Nombres complexes.

    pour moi c'est plutôt une application bilinéaire (mais je n'ai sans-doute pas tout compris)

  10. #9
    invite52487760

    Re : Nombres complexes.

    Je pense que j'ai compris ce qui préoccupe mon esprit.
    Pardonne moi minusha de t'avoir dérouté.
    Ce que je voudrais avoir, est que je puisse trouver un endomorphisme réel diagonalisable : qui a pour décomposition en sous espaces propres, l'expression : avec : . est ce que c'est possible ?

    Merci d'avance.

    edit : Dans les prochains postes, je vous expliquerai le problème qui frappe mon esprit dans sa généralité, et que je cherche à résoudre.
    Dernière modification par chentouf ; 10/08/2016 à 17h18.

  11. #10
    Tryss2

    Re : Nombres complexes.

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    qui a pour décomposition en sous espaces propres, l'expression : avec : .
    Ça veut dire quoi? C'est incompréhensible. C'est quoi tes sous espaces propres?

  12. #11
    invite52487760

    Re : Nombres complexes.

    J'ai écrit : pour dire que : : décomposition en sous espaces propres, de sorte que : représentant le sous espace propre correspondant à la première valeur propre de à déterminer, et représentant le sous espace propre correspondant à la deuxième valeur propre de à déterminer aussi.
    On a biensûr : .
    Dernière modification par chentouf ; 10/08/2016 à 19h17.

  13. #12
    Tryss2

    Re : Nombres complexes.

    Tu te rends compte que

  14. #13
    invite52487760

    Re : Nombres complexes.

    Donc, il faut forcément complexifier pour donner : , c'est ça ?
    Si, c'est le cas, quelle est qui définit une structure complexe sur ?
    Merci d'avance.

  15. #14
    Tryss2

    Re : Nombres complexes.

    Quelle est la définition d'une structure complexe?

  16. #15
    invite52487760

    Re : Nombres complexes.

    Soit un - espace vectoriel de dimension .
    Soit une application - linéaire telle que : .
    On peut dans ce cas définir une structure de - espace vectoriel sur par la loi : définie par : .
    On dit alors, que : est une structure complexe sur .
    Dernière modification par chentouf ; 10/08/2016 à 21h13.

  17. #16
    Tryss2

    Re : Nombres complexes.

    Le plus simple, c'est probablement de prendre

  18. #17
    invite52487760

    Re : Nombres complexes.

    Merci.
    Donc, lorsqu'on diagonalise : qui a pour matrice correspondante : , alors : , non ?
    Mais pourquoi, et pour qu'on obtient finalement : ?
    Merci d'avance.

  19. #18
    Tryss2

    Re : Nombres complexes.

    Tu ne peux pas diagonaliser dans R une telle matrice.

    Si J² = -I, alors J n'a pas de valeurs propres réelles, donc n'admet pas de sous espaces propres

  20. #19
    invite52487760

    Re : Nombres complexes.

    Oui, c'est vrai, on diagonalise dans , c'est pourquoi, on décompose : et non en sous espaces propres. On a corrigé ça avant. Maintenant, et suite à ce que j'ai affirmé dans le message précédent, j'essaye de voir si on peut avoir : et .
    Mais, pas la peine maintenant. Je viens de comprendre toute l'histoire il me semble :
    En fait,


    non ?
    Merci d'avance.
    Dernière modification par chentouf ; 10/08/2016 à 23h06.

  21. #20
    invite52487760

    Re : Nombres complexes.

    Bonjour à tous,

    Je me permets de remonter ce fil à nouveau pour poser une autre question importante :

    Dans le pdf çi-joint plus haut, page : , portant sur les travaux de René Thom sur une restriction dans de ce qui sera appelé plutard conjecture de Hodge définie sur , on lit qu'on pourrait toujours trouver tel que : pour une certaine sous variété de .
    Ce résultat a valu pour René Thom la médaille Fields, d'où ma question : Où je peux trouver l'intégralité des travaux de René Thom portant sur ce résultat ?

    Merci d'avance.

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