Nombres complexes.

invitecbade190 · 10/08/2016, 14h20

Bonjour à tous,

Soit $\text{[math]}$ l'application $\text{[math]}$ - linéaire définie par : $\text{[math]}$ .
Alors, il est claire que : $\text{[math]}$ est un isomorphisme, et donc : $\text{[math]}$ via cet isomorphisme.
D'autre part, on sait que : $\text{[math]}$ via l'isomorphisme $\text{[math]}$ - linéaire : $\text{[math]}$ défini par : $\text{[math]}$ .
Par conséquent, $\text{[math]}$ via l'isomorphisme $\text{[math]}$ - linéaire : $\text{[math]}$ . Ce qui n'est pas possible, car on sait tous que : $\text{[math]}$ . Qu'est ce qui ne va pas dans cette histoire ?

Merci pour votre éclairage.

invitedd78828e · 10/08/2016, 14h29

Bonjour ! Il me semble que l'espace d'arrivée de $\text{[math]}$ est l'ensemble des couples de complexes conjugués. En conséquence il ne s'agit pas d'un isomorphisme car il existe des éléments de $\text{[math]}$ qui n'admettent pas d'antécédent par $\text{[math]}$ , il suffit qu'ils ne soient pas conjugués. Typiquement le couple $\text{[math]}$ appartient à $\text{[math]}$ et n'a pas d'antécédent par $\text{[math]}$ . Cela indique que l'espace d'arrivée de phi est "plus gros" que l'espace de départ.
En revanche vous redémontrez que l'ensemble des complexes conjugués a une dimension 2 !

Cordialement

invite23cdddab · 10/08/2016, 14h31

Il est clair que phi n'est PAS un isomorphisme. Parce que phi n'est tout simplement pas bijective. Par exemple, quel serrait l'antécédent de (i,3) par phi?

invite9dc7b526 · 10/08/2016, 14h35

D'ailleurs il n'existe aucun isomorphisme entre R^2 et C^2 vus comme R-espaces vectoriels, vu qu'ils n'ont pas la même dimension.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 10/08/2016, 15h10

Bonjour,

D'accord, je vous remercie tous pour ces éclaircissements. Néanmoins, sur le pdf çi joints, page : $\text{[math]}$ , on dit que pour une fonction : $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ . Pourquoi alors, $\text{[math]}$ ? est ce parce que : $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ invariante par $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ ) ? $\text{[math]}$ c'est $\text{[math]}$ .

Merci d'avance.

invite9dc7b526 · 10/08/2016, 15h40

c'est difficile à comprendre en ne lisant que la page 66, mais il me semble qu'il s'agit d'un simple changement de paramétrisation. Il passe d'un fonction de deux variables réelles à une fonction de z et de son conjugué. L'ensemble des (z,z-barre) est bien en bijection avec C ou R^2, par (x,y) -> (x+iy,x-iy)

invitecbade190 · 10/08/2016, 16h26

Merci minusha.

Je crois que je commence à comprendre.

Donc : $\text{[math]}$ .
est -il possible de diagonaliser : $\text{[math]}$ définie : $\text{[math]}$ ? Comment trouver la décomposition de $\text{[math]}$ en somme de sous espaces propres ? Ce qui me gène, est que $\text{[math]}$ est simplement une application linéaire et non un endomorphisme, alors, je ne sais pas si on peut appliquer une diagonalisation. On peut voir $\text{[math]}$ comme : $\text{[math]}$ , alors, je ne sais pas si ça peur aider.

Merci d'avance pour votre aide.

invite9dc7b526 · 10/08/2016, 16h59

pour moi c'est plutôt une application bilinéaire (mais je n'ai sans-doute pas tout compris)

invitecbade190 · 10/08/2016, 17h16

Je pense que j'ai compris ce qui préoccupe mon esprit.

Pardonne moi minusha de t'avoir dérouté.

Ce que je voudrais avoir, est que je puisse trouver un endomorphisme réel diagonalisable : $\text{[math]}$ qui a pour décomposition en sous espaces propres, l'expression : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ . est ce que c'est possible ?

Merci d'avance.

edit : Dans les prochains postes, je vous expliquerai le problème qui frappe mon esprit dans sa généralité, et que je cherche à résoudre.

invite23cdddab · 10/08/2016, 18h58

Envoyé par chentouf

qui a pour décomposition en sous espaces propres, l'expression : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ .

Ça veut dire quoi? C'est incompréhensible. C'est quoi tes sous espaces propres?

invitecbade190 · 10/08/2016, 19h16

J'ai écrit : $\text{[math]}$ pour dire que : $\text{[math]}$ : décomposition en sous espaces propres, de sorte que : $\text{[math]}$ représentant le sous espace propre correspondant à la première valeur propre de $\text{[math]}$ à déterminer, et $\text{[math]}$ représentant le sous espace propre correspondant à la deuxième valeur propre de $\text{[math]}$ à déterminer aussi.
On a biensûr : $\text{[math]}$ .

invite23cdddab · 10/08/2016, 19h28

Tu te rends compte que $\text{[math]}$

invitecbade190 · 10/08/2016, 20h01

Donc, il faut forcément complexifier pour donner : $\text{[math]}$ , c'est ça ?
Si, c'est le cas, quelle est $\text{[math]}$ qui définit une structure complexe sur $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

invite23cdddab · 10/08/2016, 20h59

Quelle est la définition d'une structure complexe?

invitecbade190 · 10/08/2016, 21h09

Soit $\text{[math]}$ un $\text{[math]}$ - espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ une application $\text{[math]}$ - linéaire telle que : $\text{[math]}$ .
On peut dans ce cas définir une structure de $\text{[math]}$ - espace vectoriel sur $\text{[math]}$ par la loi : $\text{[math]}$ définie par : $\text{[math]}$ .
On dit alors, que : $\text{[math]}$ est une structure complexe sur $\text{[math]}$ .

invite23cdddab · 10/08/2016, 21h29

Le plus simple, c'est probablement de prendre
$\text{[math]}$

invitecbade190 · 10/08/2016, 21h46

Merci.

Donc, lorsqu'on diagonalise : $\text{[math]}$ qui a pour matrice correspondante : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ , non ?
Mais pourquoi, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour qu'on obtient finalement : $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance.

invite23cdddab · 10/08/2016, 22h38

Tu ne peux pas diagonaliser dans R une telle matrice.

Si J² = -I, alors J n'a pas de valeurs propres réelles, donc n'admet pas de sous espaces propres

invitecbade190 · 10/08/2016, 23h04

Oui, c'est vrai, on diagonalise dans $\text{[math]}$ , c'est pourquoi, on décompose : $\text{[math]}$ et non $\text{[math]}$ en sous espaces propres. On a corrigé ça avant. Maintenant, et suite à ce que j'ai affirmé dans le message précédent, j'essaye de voir si on peut avoir : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Mais, pas la peine maintenant. Je viens de comprendre toute l'histoire il me semble :
En fait,
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
non ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 21/08/2016, 17h11

Bonjour à tous,

Je me permets de remonter ce fil à nouveau pour poser une autre question importante :

Dans le pdf çi-joint plus haut, page : $\text{[math]}$ , portant sur les travaux de René Thom sur une restriction dans $\text{[math]}$ de ce qui sera appelé plutard conjecture de Hodge définie sur $\text{[math]}$ , on lit qu'on pourrait toujours trouver $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ pour une certaine $\text{[math]}$ sous variété de $\text{[math]}$ .
Ce résultat a valu pour René Thom la médaille Fields, d'où ma question : Où je peux trouver l'intégralité des travaux de René Thom portant sur ce résultat ?

Merci d'avance.

Nombres complexes.

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