Inégalité des accroissements finis pour une fonction de R^n dans R.

[invite54a8a072]

Bonjour à tous , dans mon cours sur les fonctions à plusieurs variables, je ne comprends pas du tout la démonstration de l'inégalité des accroissements finis pour une fonction de plusieurs variables à valeur dans R et votre aide me serait précieuse. Voici l'énoncé du théorème :

Soit un ouvert convexe de et une application de classe .

pour tous , il existe tel que

où est le produit scalaire canonique du gradient de f en c et de b-a.

Je comprends bien le théorème, maintenant je vous donne la démonstration de mon cours et je vous indiquerai le passage qui m'est obscur.

Démonstration:

Posons avec . C’est une fonction d’une variable réelle .

Comme f est sur et comme est convexe, par composition, F est de classe sur [0, 1]. On applique

le théorème des accroissements finis a F sur [0, 1]. Il existe tel que .

En posant on obtient

fin Démonstration

Ok donc en fait ce que je ne comprends pas c'est comment arriver au résultat final après avoir appliqué le théorème des accroissements finis à la fonction F .
La seule chose que je remarque c'est que F(1)-F(0)=f(a)-f(b).
en mettant le produit scalaire sous une forme plus explicite, ca n'aide pas :



Voila donc si quelqu'un comprend comment on passe de à , je suis preneur !
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[invite54a8a072]

oups en me relisant erreur de ma part, j'ai écrit que :

mais je voulais en fait écrire

[invite54a8a072]

oups encore, certains l'auront sans doute remarqué il ne s'agit pas de l'inégalité des accroissements finis, mais "juste" d'un lemme utilisé pour la démonstration de l'inégalité . Je me disais bien aussi que c'était plus similaire au théorème des accroissements finis qu'à l'inégalité des accroissements . Voila sinon l'énoncé et la preuve sont corrects.

[invite5aa06497]

Bonjour,

Il s'agit simplement d'écrire la formule de dérivation des fonctions composées, qui doit se trouver un peu avant dans ton cours (c'est un des résultats les plus importants concernant les fonctions de plusieurs variables, dont les physiciens se servent quotidiennement à leur façon...). Je l'écris ici avec deux variables, c'est plus simple mais c'est pareil avec n :


Soit où f est une fonction de deux variables, u et v d'une variables, de classes sur ce qu'il faut, alors F est de classe et :

, ce qu'on peut écrire aussi comme le produit scalaire de et de .

Ici , et tu peux ainsi exprimer comme dans ton cours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54a8a072]

ok merci beaucoup c'est clair maintenant