ensemble négligeable d'un espace mesuré

[DucK974]

Bonjour,

il est dit que si on a un espace mesuré (X,T,m), il est possible de le compléter en rajoutant les sous ensembles négligeables à la tribu T ce qui nous donne la tribu T' et en montrant par la suite l'existence de m' unique mesure définie sur T' qui prolonge m. Ainsi, (X,T',m') définit un espace mesuré qui est complet et qu'on appelle le complété de (X,T,m). Ma question est toute simple : pourquoi introduire cette notion ? Je ne vois la raison... Est-ce que ce serait parce qu'il y aurait des soucis à définir l'intégrale de Lebesgue sur un espace mesuré non complet ?

Merci d'avance à ceux qui répondront
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[invite52487760]

Bonsoir,

Sauf erreur de ma part :

Lorsqu'on se permet d'ajouter les négligeables à une tribu, on a droit d'utiliser la relation d'équivalence ''égalité presque partout'' qui permet de quotienter un espace semi-normé pour devenir espace normé.
La mesure de Lebesgue est par exemple le complété de la mesure de Borel qu'on utilise dans la définition des espaces qui sont des espaces normés quotients des espaces semi - normés , muni de la mesure de Borel.

[gg0]

Bonjour DucK974.

Rajouter à la tribu de départ les parties de l'univers incluses dans des parties de mesure nulle est une saine pratique : On accroît la tribu sans rajouter de perturbation à la mesure. Le fait qu'on n'ait ensuite plus d'ennui liés à ces parties lors de la construction des espaces fonctionnels est d'ailleurs ce qui a amené à le faire au départ.

Cordialement.

[minushabens]

j'ai l'impression qu'elle permet de simplifier certaines démonstrations, mais qu'il n'y a pas de raison profonde de faire cette hypothèse. Et comme elle ne "coûte pas cher" (puisqu'on montre facilement que toute mesure peut être prolongée en une mesure complète) pourquoi s'en priver?

[A voir en vidéo sur Futura]