Racines rationnelles d'un polynôme

[LouisMPSI]

Bonsoir,

Voici un exercice de DM qui me pose problème :

Pour quels entiers n ∈ N* le polynôme P(x) = xⁿ + (2 + x)ⁿ + (2 − x)ⁿ a-t-il une racine dans Q ?

Pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance
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[Resartus]

Bonjour,
On pourrait aller très vite en supposant connu le théorème de wiles : si on avait une solution rationnelle, on aurait une solution du problème de fermat. Mais je ne pense pas que ce soit cela la réponse attendue...

En fait on peut oublier Q. Y a t'il tout bêtement des racines réelles?
réponse évidente pour n pair, un peu moins pour n impair : on peut diviser par x^n, calculer la dérivée puis faire un tableau de variation

[Seirios]

Bonjour,

Une autre piste pourrait être de partir de , puis de multiplier par pour obtenir quelque chose de la forme (dans le cas où est impair, mais dans le cas où est pair, il n'y a pas grand chose à faire). On peut alors en déduire que les seules solutions possibles sont des puissances de .

Par contre, je n'ai pas pousser l'argument plus loin, mais il semble raisonnable de penser qu'il puisse permettre de conclure.

[minushabens]

On pourrait aller très vite en supposant connu le théorème de wiles : si on avait une solution rationnelle, on aurait une solution du problème de fermat.

si n impair >1

[A voir en vidéo sur Futura]

[LouisMPSI]

Bonjour,
On pourrait aller très vite en supposant connu le théorème de wiles : si on avait une solution rationnelle, on aurait une solution du problème de fermat. Mais je ne pense pas que ce soit cela la réponse attendue...

Bonjour,
Vous parlez du petit théorème de Fermat ? (Parce que le prof nous a dit qu'on pouvait utiliser ce théorème)

[Médiat]

Bonjour,

Je pense que Resartus faisait allusion au Grand Théorème de Fermat, dit aujourd'hui théorème de Fermat-Wiles

[ansset]

c'est forcement le second, le premier n'ayant pas grand chose à voir, donc si le prof l'a évoqué , alors la seule solution est immédiate.

[minushabens]

- il faut traiter le cas n=1
- le cas n pair est trivial
- et le cas n impair > 1 est réglé par le théorème de Fermat-Wiles, mais il faut quand-même montrer qu'à partir d'une solution x rationnelle on obtient une solution entière de l'équation de Fermat.

[ansset]

oui, bien sur, mon "immédiat" était peu être trop fort.
il n'y a que le 3 ème point qui suppose un petit changement d'écriture

[saadmellas]

Bonjour,
tu peux commencer déjà par éliminer les cas

-Si n est paire, donc x^n , (2-x)^n , (2+x)^n sont tous positifs,
il s'agit ici d'une somme nulle de 3 éléments positifs , donc ils sont tous nuls => x=0 ,2-x=0,2+x=0 ce qui est impossible
-...

je n'ai pas encore cherché vraiment une solution si je la trouve je la posterai d'ici ce soir ^^

[ansset]

attends peut être que LouisMPSI finisse l'exercice car il a toutes les indications nécessaires.

[ansset]

d'autant qu'il y a une petite subtilité pour bien revenir au cas "fermat" c-a-d avec des entiers positifs.

[LouisMPSI]

Je ne connais pas le grand théorème de Fermat ... (et je viens dapprendre que le prof n'a jamais parlé du petit théorème de Fermat, ce sont d'autres élèves qui en ont parlé)

Je dois pouvoir le faire sans Fermat (je vais y réfléchir grâce aux autres infos)

[Médiat]

Bonjour,


Dans le cas impair, il "suffit" d'écrire l'équation avec x = p/q, comme (x+2)^n + (2-x)^2 se simplifie beaucoup et peut s'écrire sous la forme p^n + 2(...) = 0, on en déduit que p est pair, en posant p1=2p on obtient une formule similaire qui montre que p1 est pair, en itérant, on arrive à une contradiction (c'est à peu près l'idée de Seirios)

[ansset]

pour info , celui ci dit qu'il n'existe pas trois entiers non nuls x,y,z tels que
si n>2
au cas ou tu l'aurais vu dans tes cours sous une forme ou une autre.
car ça permet une démonstration assez rapide.

[Médiat]

Ooops, je suis allé trop vite : on ne peut pas itérer, mais heureusement, ce n'est pas utile ...

[ansset]

bonjour,

Une autre piste pourrait être de partir de , puis de multiplier par pour obtenir quelque chose de la forme (dans le cas où est impair, mais dans le cas où est pair, il n'y a pas grand chose à faire). On peut alors en déduire que les seules solutions possibles sont des puissances de .
.

je ne suis pas sur de voir comment tu arrives aux puissances de 2 !

j'ai une approche dans le même esprit mais plus lourde :

 Cliquez pour afficher

on ne s'intéresse au cas n impair bien sur d'où
soit

x est donc multiple de 2 à minima.

en simplifiant P(y)=0 devient


comme p et q sont premiers entre eux q=1 et aussi p est multiple de 2; p=2p' d'où

la somme est impaire donc n=1, et la somme =1
et p'=-1.
finalement n=1 et
x=2p/q=4p'=-4

[Seirios]

 Cliquez pour afficher

Si est racine du polynôme, alors (en supposant impair). Du coup, doit diviser . Bien évidemment, on aura supposer et premiers entre eux, d'où on déduit que . De la même manière, doit diviser , et donc doit être une puissance de (d'exposant ).

Par contre, j'ai raisonné dans , donc il faut ajouter les opposés des puissances de deux.

[ansset]

suis-je aveugle ou idiot ?
en plus, j'en tiens compte ( à la fin ).
j'aurai gagné qcq lignes ......

[LouisMPSI]

ansset comment passez-vous de la ligne 2 à la ligne 3 (celle où la somme apparaît) s'il vous plaît ?

[ansset]

identité remarquable :

et ici =4

[LouisMPSI]

D'accord merci.
Désolé mais je n'ai pas compris la fin, à partir de "p et q premiers entre eux donc q=1 et p multiple de 2". Pourriez-vous m'expliquer ?...

[ansset]

p^/q = entier donc q=1 ; x est réduit à sa forme minimale p/q avec p et q premiers entre eux )
( rappel si p et q sont premier entre eux alors p^k et q^k' le sont aussi qcq soient k et k' )
quand à p multiple de 2 il vient de x multiple de 4 ( ligne 3 ) pour une raison similaire.

[LouisMPSI]

D'accord et après comment savez-vous que la somme est impaire, et comment en déduisez-vous que n=1 ?
Je crois comprendre mais ne suis pas sur... Est-ce parce qu'on somme un nombre de fois impair des nombre impairs ?

[ansset]

je suis allé un peu vite, il est vrai.
chaque terme de la somme ne donne que des termes en kp^k' +(-1)^(n-1-k)
les kp^k' sont pairs ( p l'est et même les k ).
reste une suite de (-1)^(n-1-k) composée de n termes ( n impair ) qui s'annulent deux à deux et dont le dernier vaut 1.

ensuite comme la somme est impaire et divise 2^(n-1) alors n=1.

mais j'aurai du simplifier tout cela en prenant au départ l'idée de Serios sur les puissances de 2.

[LouisMPSI]

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi c'est impair...

[ansset]

je vais le dire plus simplement.
chaque terme de la suite est impair. ( car p est pair )
(donc p-1 et p+1 sont impairs , leurs multiplications qcq soit les puissances sont impairs.)
Or il y a un nb impair ( n) de termes.
leur somme est forcement impaire.

[LouisMPSI]

Ah d'accord je comprend mieux ! Merci !