primalité et produit de 2 entiers non divisibles

[fabio123]

Je bloque sur un petit problème situé sur :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe...nombre_premier

Il est indiqué que "La primalité de p assure que le produit de deux entiers non divisibles par p n'est pas divisible par p".

si je pars des 2 entiers (a,b) non divisibles par p :




et que je fais le produit :





et donc

on peut dire alors que le produit ab n'est pas divisible par p.

Mais que vient faire la primalité de p dans l'affirmation ci-dessus ("La primalité de p assure que le produit ...").

Désolé si ça peut paraître évident.

Merci pour votre aide
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[Resartus]

Bonjour,
Si q n'est pas premier, et est de la forme par exemple p.p', alors si a est divisible par p et b par p', a.b est divisible par q alors ni a ni b ne le sont...

[fabio123]

Excusez-moi, il y a une erreur dans mon premier message :



Merci Resartus mais quand tu dis en conclusion :

a.b est divisible par q alors ni a ni b ne le sont...

tu veux dire : " ni a ni b ne sont divisibles par q=p.p' " ?

Pourtant, tu pars de l'hypothèse où q n'est pas premier.

Rigoureusement, il faut démontrer l'implication suivante :

Avec l'hypothèse "p" premier, Proposition ( "a" et "b" chacun non divisible par "p" ===> "a.b" non divisible par p )

Tu essaies de démontrer la contraposée de cette proposition ci-dessus ??

Sinon comment faire le lien entre ce que tu dis et ma conclusion initiale , c'est-à-dire :



Cdt

[Resartus]

Bonjour
Il faut être prudent avec les modulo un nombre non premier. ab=0 mod q, n'implique pas que au moins l'un des deux a ou b soit nul.

Exemple : 6=0 (mod 6) et pourtant ni 2 ni 3 ne sont nuls modulo 6...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Une façon de voir : la décomposition en facteurs premiers

Si a n'est pas divisible par p (premier), alors il n'a pas de p dans sa décomposition en facteur premiers
Si b n'est pas divisible par p, alors il n'a pas de p dans sa décomposition en facteur premiers

Donc ab n'a pas de p dans sa décomposition en facteurs premiers (c'est le produit des décompositions). Ainsi ab n'est pas divisible par p.

Si on fait la même chose avec un nombre non premier, il peut avoir la moitié de ses facteurs dans la décomposition de a, et l'autre moitié dans la décomposition de b, donc quand on fait le produit, on a tout les facteurs de c. Donc c'est divisible par c (dans ce cas là)

[gg0]

Bonjour Fabio123.

pour en revenir à ton premier message, tu ne prouves rien, puisque peut très bien être divisible par p. Autrement dit, "on peut dire alors que le produit ab n'est pas divisible par p." est une affirmation non fondée. Et même fausse dans certains cas si p n'est pas premier (examine le cas p=6, a=32, b=21).
En fait, tu n'as pas avancé !!

Cordialement.

[fabio123]

Merci à vous tous, la décomposition en facteurs premiers m'a permis de comprendre.