Matrices de Pauli

[Murmure-du-vent]

J'ai lu que les matrices de pauli forment un tenseur invariant de jauge à 3 indices. i va de 1 a 3
(1 par matrice), a de 1 a 2 (2 lignes) et b de 1 a 2 (2 colonnes)
çà fait 12 elements dans un tableau.
Ces matrices concernent l'algebre de su(2)
0 1
-1 0
est aussi invariant de jauge dans SU(2)
mais par multiplication matricielle à gauche par g et à droite pas g^(-1)
Y a t il un moyen de reunir ces 4 matrices dans un meme objet mathematique?
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[Deedee81]

Salut,

Tu es en panne de bonjour ?

Y a t il un moyen de reunir ces 4 matrices dans un meme objet mathematique?

Oui, regarde ici par exemple : https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_...s#Pauli_vector
Bon, là c'est à trois composantes, mais passer à quatre n'a rien de sorcier.

[Murmure-du-vent]

Bonjour Didier (j'ai refait le plein)
En fait ce n'est pas le passage à 4 composantes qui m'interesse. Je voudrait plutot les
relier à la matrice 2*2 epsilon completemeny antisymetrique avec 1 en haut a droite

[Médiat]

Bonjour,

Je voudrait plutot les
relier à la matrice 2*2 epsilon completemeny antisymetrique avec 1 en haut a droite

Pourriez vous être plus explicite pour les pauvres mathématiciens...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Pourriez vous être plus explicite pour les pauvres mathématiciens...

Ou les non mathématiciens. Je n'ai pas compris non plus

[Médiat]

:s: ..........................

[Murmure-du-vent]

J'ai moi meme des difficultés à formuler ma question! D'ailleurs quand on a réussi la solution apparait souvent dans la foulée.
Pour DeeDee à qui çà parlera sans doute le plus ma question vient des reseaux de spin.
Pour des graphes trivalents on voit souvent apparaitre des matrices de Pauli aux intersections dans les entrelaceurs. Dautre part dans l'appendice A de quantum gravity Rovelli ecrit que tout reseau de spin peut etre decomposé en ensemples de boucles
non secantes pour les quelles on n(utilisera pas de matrices de Pauli mais uniquement des matrices
0 1
-1 0
Je me disais donc qu'il devait y avoir ine identitéremarquable reliant des expressions avec
des matrices de Pauli avec cette toute petite matrice
La réponse la plus proche que j'ai trouvée se trouve dans
http://www.imperial.ac.uk/media/impe...ssertation.pdf
apres la figure 1.8 pour l'exemple de reseau de spin en theta.
Bon si un mathematicien arrive à formuler quelquechose de propre à partir de cette bouilie,
je suis preneur.

[Amanuensis]

Je voudrait plutot les
relier à la matrice 2*2 epsilon completemeny antisymetrique avec 1 en haut a droite

Ce serait i fois la seconde, non? Si c'est ça l'intérêt n'en est pas clair.

Pour moi, si faut en ajouter une quatrième, c'est plutôt l'identité I (ce qui ferme les relations de commutation et d'anticommutation), et ça va ressembler un peu à l'algèbre des quaternions.

[Murmure-du-vent]

Oui. regarde dans le livre de Rovelli a l'appendice A
http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf
Il ecrit que pour les reseaux de spin tout peut s ecrire (en plus des matrices de SU(2) sur les aretes
avec ce epsilon 2*2 antisymetrique sur les noeuds!

[Médiat]

ça va ressembler un peu à l'algèbre des quaternions.

L'algèbre des matrices de Pauli ne serait-elle pas de dimension 8 sur IR ?

Au choix : biquaternions, quaternions complexifiés, algèbre naturelle 3D (Clifford 3, IR), M(2, C)

[Murmure-du-vent]

Ce serait i fois la seconde, non? Si c'est ça l'intérêt n'en est pas clair.

Dans le passage concerné Rovelli étudue le produit tensoriel de 3 representations de SU(2) qui vérifie les conditions de Clebsch Gordan
Il s'interesse aux sous espaces globalement invariant sous l'action de SU2. Il ecrit qu'ils sont representés par
des tenseurs invariants qui s'expriment tous à l'aide de ce tenseur epsilon:
0 1
-1 0
qui "represente" le vecreur up down - down up dans la representation fondamentale

[0577]

Bonjour,

quelques remarques (d'utilité peut être nulle car je ne comprends pas la question initiale):

Les matrices de Pauli forment une base (sur le corps des complexes) de l'algèbre de Lie

est l'algèbre de Lie du groupe de Lie , le groupe des matrices inversibles 2x2 à coefficients complexes de déterminant 1. Ce groupe agit naturellement sur par transformations linéaires et la condition "déterminant =1" signifie que est exactement le groupe des transformations linéaires de préservant la forme antisymétrique non-dégénérée standard sur :

<(x,y),(x',y')>=xy'-x'y

(l'unique forme symplectique sur à isomorphisme près) et la matrice epsilon est la matrice de cette forme antisymétrique dans une certaine base.

Le fait que préserve la forme <,> peut se traduire au niveau de l'algèbre de Lie: pour toute matrice de Pauli , on a , où est la matrice transposée de .

[Médiat]

Bonjour,

En notant (comme d'habitude) :


On a simplement :

[Murmure-du-vent]

Bonjour,

En notant (comme d'habitude) :


On a simplement :

J'ai trouvé quelque chose plus pres de ce que je cherhaus.
kes matrices de Pauli } on un indice en haut et un en bas. Par multiplication matricielle par le tenseur completement anti symetrise on obtient 3 matrices Qui comme epsilon appartiennent à SU(2) apres renormalisation
De plus leurs elements mis en ligne donnent une base orthgonale de l'espace sur lequel ils agissent
Edit sur le produit tensoriel de V par V
.

[Murmure-du-vent]

On obtient donc en considerant pour chaque matrice de Pauli la matrice symetrique de SU(2)


Si pour chaque matrice je mets sur une ligne ses 4 elements çà donne
(en commencant par epsilon
0 1 -1 0
-i 0 0 i
-1 0 0 -1
0 i i 0
On voit que (apres division par racine de 2) les lignes forment une base orthonormee
du produit tensorir V \otimes V

Le premier est l etat singulet antisymetrique invariant et les trois autres forment un triplet globalement invariantOn a donc une matrice de passage.
Connaitriez vous le lien avec ce qu'on appalle les symboles 3j de Wigner?