somme de k/(k+1)!

[invitee3726c40]

Bonjour à tous,

en MPSI cette année je recherche :

la somme de k=1 à n des k/(k+1)!

j'ai essayé plusieurs transformations mais je n'aboutis à rien,auriez vous la solution ou alors des pistes de réfléxion intéressantes svp.

Merci à tous
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[gg0]

Bonjour.

Au numérateur, k=(k+1) -1. On décompose en 2 fractions, puis on simplifie.

Bon travail !

[Resartus]

Bonjour,
Il faut se ramener au développement en série de l'exponentielle écrit de manière un peu différente :
Ici on a e=somme 1/k!=somme (k+1)/(k+1)!=somme k/(k+1)! + somme 1/(k+1)!
Etc... (il faut juste faire attention au point de démarrage des diverses sommes)

[invitee3726c40]

je ne comprends pas :
c'est exp(k) qui est égal à somme de 1/k! ?
et dans ce cas, que vaut la somme de 1/(k+1)! ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonsoir,

Cette piste n'est pas la bonne (ce le serait pour le calcul de la limite), suivez plutôt le conseil de gg0 (et essayez les premiers termes sous la forme suggérée)

[Resartus]

Oups, en effet, la réponse est très simple, et mon marteau pilon ne sert à rien.... J'aurais dû prendre la peine de faire le calcul, avant de répondre bêtement...

D'autant que tangpet n'a pas dû encore apprendre les développements en série entière

[invitee3726c40]

cela fait effectivement une somme téléscopique et du coup j'arrive à:

somme de 1 à n de k/(k+1)!= 1-(1/(n+1)!)