Nature et somme d'une serie

[invite3e5a1c35]

bonjour ça fait des heures que je cherche à résoudre cet exercice. pour la nature pas de problème j'arrive à la trouver par comparaison avec la série exponentielle mais pour la somme j'ai du mal à la trouver. je ne sais pas comment manipuler le terme général pour aboutir à une série de référence dont on connait la somme.
voici le terme général de la série :

U(n)=[2^n/(n+2)!]

pour la nature, voici mon raisonnement :

u(n) est à terme strictement positif et on a :
pour tout entier naturel n non nul, 1/(n+2)!<= 1/n! donc 2^n/(n+2)! <= 2^n/n! (qui est une série exponentielle, elle converge vers exp(2))
ainsi par comparaison des STP (serie a terme positif) U(n) converge.
comment faire pour la somme de la serie?
merci d'avance pour vos reponses.
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[gg0]

Bonjour.

En prenant p=n+2, on obtient une série proche de ton exp(2). Il suffit de compléter.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

En écrivant , la réponse devrait être facile à trouver

[invite3e5a1c35]

Bonjour.

En prenant p=n+2, on obtient une série proche de ton exp(2). Il suffit de compléter.

Cordialement.

Merci pour votre reponse
si je comprends bien on a :
Σ(Un) (n=0:P) = Σ(2^n/(n+2)!) (n=0:P)
posons k= n+2
Σ(Un) (n=0:P) = Σ(2^k/(k)!) (k=2:P+2)
= exp(2)-1-2
= exp(2)-3

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3e5a1c35]

Bonjour,

En écrivant , la réponse devrait être facile à trouver

Merci pour votre aide.
si je comprends bien j'aurai
ΣUn (n=0) = 1/4 Σ [2^(n+2)/(n+1)!] (n=0)
= 1/4[exp(2)]
= exp(2)/4

[invite51d17075]

non , parce qu'il manque les deux premier termes de la somme pour faire exp(2)
ta somme vaut exp(2)-3

[gg0]

Non !

"posons k= n+2
Σ(Un) (n=0:P) = Σ(2^k/(k)!) (k=2:P+2)"
je suppose qu'il faut lire
"posons k= n+2
Σ(Un) (n=0:+oo) = Σ(2^k/(k)!) (k=2:+oo)"
et n'importe comment, le 2^k est faux, tu n'as pas fait sérieusement le changement de variable (tu remplaces n+2 par k mais aussi n par k ! Il faut savoir !!

NB : la méthode de médiat est fondamentalement la même que la mienne !!

[invite51d17075]

oups, même pas vu qu'il n'y avait pas le même k en haut et bas sur le dernier message contrairement au précédent. ( peut être une faute de frappe ? )
ou il ne manquait que le (1/4), mais ou la soustraction des premiers termes était faite.
ce fut un pas en avant et deux pas en arrière.