Probabilité. Boréliens et fonctions mesurables

[zaskzask]

Bonjour =),

J'ai deux questions par rapport à la théorie des probabilités.

Premièrement : pourquoi en probabilité on utilise la tribu borélienne? Quel rapport avec les probabilités et une tribu qui contient tout les ouverts?
Deuxièmement : Il me semble qu'à chaque fois qu'on considère l'intégrale de Lebesque d'une fonction, on requiert que celle-ci soit mesurable mais je ne comprends pas à quelle point dans la construction (fonctions simples, combinaison linéaire de fonctions simples, fonctions positives,...) cette condition est utilisée.

Merci d'avance =)
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[gg0]

Bonjour.

La tribu borélienne a l'avantage que les fonctions continues sont automatiquement mesurables. Comme on a commencé l'intégration au dix-septième siècle avec les fonctions continues, c'est quand même plus utile de continuer ce qui marchait bien avant.

Pour l'intégrale de Lebesgue, revois la définition, qui ne fonctionne justement que parce que la fonction est mesurable. C'est même la base de la méthode.
Ne pas confondre avec l'utilisation de l'intégrale et les démonstrations éventuelles qu'on fait. Dans ce cas, si les fonctions ne sont pas mesurables, il est inutile de parler de leur intégrale.

Cordialement.

[Tryss2]

En fait, dans la définition de l'intégrale de Lebesgue, ça marche aussi avec des fonctions non mesurables... le problème, c'est que certaines des propriétés de bases importantes ne sont plus présentes (il me semble que l'on n'a plus la linéarité par exemple)

[gg0]

Bonjour Tryss2.

j'en étais resté à une définition où on utilise la mesure d'intervalle de style , ce qui pose problème si f n'est pas mesurable.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Étrange, la définition "usuelle" de l'intégrale d'une fonction positive, c'est généralement :



Et ça, c'est bien défini même si f n'est pas mesurable


Par contre, le reste se passe mal quand f n'est pas mesurable, donc on ne pourrait pas appeler ça une intégrale

[gg0]

Oui, effectivement, avec cette "définition", plus besoin de mesurabilité, mais pour avoir une intégrale (ce qui revient à ma définition), on a bien besoin ensuite de la mesurabilité.

Nb : ce que tu définis, n'est-ce pas l'intégrale inférieure ?

Cordialement.

[Tryss2]

Non, c'est bien l'intégrale de Lebesgue des fonctions positives. Et définition sans guillemets, puisque c'est la définition standard

A noter tout de même qu'en analyse (donc avec la tribu de Lebesgue), les questions de mesurabilités sont assez peu importantes : pour qu'une fonction puisse être non mesurable, on a besoin de l'axiome du choix, elles seront donc toutes "tordues". Par contre, en probabilité, quand on travaille avec des tribus différentes, la mesurabilité est centrale. Par exemple, l'espérance conditionnelle est basée là dessus