Racines d'un polynôme unitaire de degré 5

[invite66d75f15]

Bonjour,
Je travaille actuellement sur les corps de rupture et de décomposition. Un exercice me demande de montrer que le polynôme est irréductible sur , déterminer un corps de rupture et un corps de décomposition de P sur et donner leur dimension dans .

Seulement, je n'arrive pas à déterminer les racines du polynôme. Il y a bien sûr mais c'est une racine simple; comme le polynôme est de degré 5 je ne pense pas qu'il puisse y avoir de racine complexes, et je ne trouve pas d'autre racines...Celle_ci n'est pas dans , mais il faut que je montre qu'aucune des racines n'est dans et donc pour ça que je trouve toutes les racines! (il existe sans doute une méthode pour montrer qu'un polynôme est irréductible sans passer par ses racines, mais j'en aurais besoin après pour le corps de décomposition, de toute façon)

Pour le corps de rupture, j'ai mis: , qui est de dimension 5 dans car c'est le degré de P.

Pour le corps de décomposition, en revanche, je sais que c'est le corps généré par les racines du polynôme, et il me faudrait donc les autres racines de P pour pouvoir le déterminer. Accessoirement, je ne sais pas comment déterminer sa dimension dans .

Des idées?
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[Médiat]

Bonjour,

Avez-vous essayé dans C ?

[invite23cdddab]

Indice : Si c'était X^5-1, on aurait les racines 5 èmes de l'unité

[invitee1cdf403]

(encore moi)

Pour seulement montrer que le polynôme est irréductible, il suffit d'appliquer le critère d'Eisenstein qui dit :
Soit P(X)=a_0 + ... + a_nX^n un polynôme de Z[X].
Si il existe un nombre premier p tel que :
p divise a_i pour i=0,... n-1
p ne divise pas a_n
p^2 ne divise pas a_0
Alors P(X) est irréductilble dans Q[X].

Reste ici à trouver un p qui fonctionne

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite66d75f15]

Oh, oui, je l'avais oublié celui-là! Merci.

[invite0e083147]

c'est par (x-1)(polynôme degrés )

[invite0e083147]

c'est par (x-1)(polynôme degrés4 )

[invite0e083147]

et utiliser formule de moivre pour utiliser les arguments et module des nombres complexe