injectivité, surjectivité et fonction identité

[Isana]

Bonjour, je voudrais vérifier les réponses d'un problème ci-dessous.

Soit E un ensemble, soit g ∈ F(E,E) telle que g°g=g. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) g est injective,
(ii) g est surjective,
(iii) g est la fonction identité de F

(i) Soit x ∈ E, on a
g°g(x)= g(x)
donc g(g(x)) = g(x)
Or g est injective
donc g(x) = x
D'où g est la fonction identité E.

(ii) Supposons que g(x) est surjective
Soit x ∈ F,
g°g(x)=g(x)
donc g(g(x))=g(x)
Or g est surjective donc il existe x ∈ F,
y=g(x)
D'où g(y)=y
Or y ∈ F,
donc g est la fonction identité de F et g est injective.

(iii) Supposons que g est la fonction identité de F
Soit x ∈ F, on a :
g°g(x)=g(x)
Or g est la fonction identité de F
D'où IdF°g(x)=IdF(x)
donc g(x)=x
D'où g est surjective et g est injective.

Est ce quelqu'un pourrait me dire si c'est juste svp?
Merci d'avance
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[PlaneteF]

Bonjour,

Il sort d'où cet ensemble

Cordialement

[Isana]

Le F(E,E) signifie seulement que l'ensemble de départ de la fonction est E et que son ensemble d'arrivée est également E.

[PlaneteF]

Non, je ne te parle pas du tout de cela, je te parle de l'ensemble que tu mentionnes à plusieurs reprises. Avant même de regarder dans le détail tes démonstrations tu dois te rendre compte au premier coup d'oeil qu'il y a un vice de forme dans ce que tu écris.

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isana]

Ah oui autant pour moi, je suis désolé! C'est juste que dans mon exercice l'ensemble est F mais je l'ai changé au début pour ne pas utiliser deux fois le même F...
Donc en remettant des E on a :

Soit E un ensemble, soit g ∈ F(E,E) telle que g°g=g. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) g est injective,
(ii) g est surjective,
(iii) g est la fonction identité de E

(i) Soit x ∈ E, on a
g°g(x)= g(x)
donc g(g(x)) = g(x)
Or g est injective
donc g(x) = x
D'où g est la fonction identité E.

(ii) Supposons que g(x) est surjective
Soit x ∈ E,
g°g(x)=g(x)
donc g(g(x))=g(x)
Or g est surjective donc il existe x ∈ E,
y=g(x)
D'où g(y)=y
Or y ∈ E,
donc g est la fonction identité de E et g est injective.

(iii) Supposons que g est la fonction identité de E
Soit x ∈ E, on a :
g°g(x)=g(x)
Or g est la fonction identité de E
D'où IdE°g(x)=IdE(x)
donc g(x)=x
D'où g est surjective et g est injective.

[PlaneteF]

Ah oui autant pour moi,

Je trouve que "au temps pour moi" a une étymologie plus claire.

(ii) Supposons que g(x) est surjective
Soit x ∈ E,
g°g(x)=g(x)
donc g(g(x))=g(x)
Or g est surjective donc il existe x ∈ E,
y=g(x)

Là encore il y a un sérieux vice de forme dans ce que tu écris. Il sort d'où ton ??

C'est plutôt :

Du coup il te faut corriger la suite.

(iii) Supposons que g est la fonction identité de E
Soit x ∈ E, on a :
g°g(x)=g(x)
Or g est la fonction identité de E
D'où IdE°g(x)=IdE(x)
donc g(x)=x
D'où g est surjective et g est injective.

Tu tournes en rond pour au final ne rien démontrer du tout. Tu pars de l'hypothèse que est la fonction identité de pour arriver au résultat que . Ben oui, par définition même de la fonction identité !!


Cordialement

[PlaneteF]

Là encore il y a un sérieux vice de forme dans ce que tu écris.

... Et je rajoute même un 2e vice de forme : Tu quantifies une deuxième fois la variable !

Cdt