Montrer que Q est dense dans R

[Yasmine21]

Bonjour,
j'essaye de démontrer que Q est dense dans R en utilisant la propriétés qui dit que tout ouvert non vide de R rencontre Q.. mais je bloque un peu.. quelqu'un pourrait il m’éclairer svp ?
voila ce que j'ai fait pour le moment :
on doit démontrer que quelque soit U un ouvert non vide de R on U intersecter avec Q est différent de l'espace vide
donc on a U un ouvert non vide de R donc U est au voisinage de chacun de ses point ie x appartient a U
J'attend vos réponses.
Merci d'avoir prit la peine de lire mon message .
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[ansset]

bjr , il suffit de montrer que pour tout réel x , il existe une suite Un de rationnels qui converge vers x.
la suite "connue" étant Un=E((10^n)x)/10^n.

mais peut être veux tu une démonstration d'un autre ordre.

[Yasmine21]

Oui j'aimerai la démontrer en vérifiant la propriété que j'ai cité tout au début: Q est dense dans R si et seulement si pour tout ouvert non vide de R rencontre Q ( l'intersection entre l'ouvert et Q doit être différent du vide.)

[ansset]

qu'entends tu par "rencontre Q" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Yasmine21]

voila pour être plus précise:
∀ u un ouvert de non vide de R, on a u∩Q ≠∅
il faut que je vérifie cette propriété pour pouvoir dire que Q est dense dans R

[ansset]

Ha, juste cette propriété ? ( rien à voir vraiment avec la densité )
tu es en train de demander de montrer que dans un ouvert de R , il n'y a pas QUE des rationnels ?

[Yasmine21]

oui entre autre

[Yasmine21]

pourriez vous me donner un petit indice pour pouvoir commencer..

[Médiat]

Bonjour,

Montrer (ou rappeler) que tout ouvert de IR contient un intervalle de la forme ]a, b[ où b > a, après il reste à trouver un rationnel entre a et b.

[Yasmine21]

C'est bon j'ai trouvé merci
Mais comment peut ont être sur que tout ouvert de R contient un intervalle de la forme ]a,b[ ?

[ansset]

dans la formule que je t'ai donné 0<=x-Un<10^(-n)
ce qui te permets de trouver deux rationnels a et b ( a < b ) à l'intérieur de ton intervalle réel.

[Yasmine21]

Ah d'accord!
Merci a tous !

[minushabens]

Ha, juste cette propriété ? ( rien à voir vraiment avec la densité )

Tu as oublié tes cours de topologie... en passant au complémentaire, la propriété en question dit qu'aucun fermé de R de complémentaire non vide ne contient Q. Donc la fermeture de Q ne peut être que R.

[ansset]

Tu as oublié tes cours de topologie... en passant au complémentaire, la propriété en question dit qu'aucun fermé de R de complémentaire non vide ne contient Q. Donc la fermeture de Q ne peut être que R.

??????
je ne saisi pas le pourquoi de la remarque par rapport à la question précise posée en complément de la première.
question à laquelle il a été répondu.
( mais je pensais que c'était acquis pour Yasmine , d'où le "vraiment" .... ).
par ailleurs , inutile de me rappeler les defs, mais je vois mal en quoi CELA répond à la question précise posée.

[minushabens]

Ce que je voulais dire c'est que "Q dense dans R" est trivialement équivalent à "tout ouvert de R rencontre Q". Il me semblait que tu disais que les deux choses n'avaient rien à voir, j'ai dû mal comprendre.

[ansset]

OK, je comprend mieux ta remarque.
alors il s'agit effectivement d'un oubli de ma part concernant l'expression "rencontre Q" !
( même pas sur qu'on l'employait à mon époque )