espace vectoriel des polynômes

[invite51d17075]

En revanche tu as souligné la question de la linéarité qui , du coup est passée à la trappe ! dommage ....
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[PlaneteF]

en résumé, tu ne penses pas que tu embrouilles plus le sujet que tu n'aides l'élève ?

S'il est embrouillé à cause de cela, de mon point de vue cela renforce un peu plus la pertinence de la remarque en question.

Cdt

[PlaneteF]

j'ai bien fait une erreur de recopiage, il s'agit bien évidement de démontrer que theta est un endomorphisme de R2[X].

Le "litige" n'était pas là.

Cdt

[invite51d17075]

S'il est embrouillé à cause de cela, de mon point de vue cela renforce un peu plus la pertinence de la remarque en question.

Cdt

no comment !

[PlaneteF]

no comment !

A débattre ailleurs (tu peux ouvrir un fil, c'est toi qui a lancé le sujet).

Cdt

[invite90cb9b7c]

donc est ce un endomorphisme de R₂[X]? Pour moi non, le degré de Q(X) étant égal à 0. Est ce qu'on peut dire que l'ensemble d'arrivé est R₀[X]?
De plus je comprend pas la différence entre image et ensemble d'arrivé.

[PlaneteF]

donc est ce un endomorphisme de R₂[X]? Pour moi non, le degré de Q(X) étant égal à 0.

est donc de degré , et donc par définition appartient bien à

De plus je comprend pas la différence entre image et ensemble d'arrivé.

Là encore, par définition, l'image d'une application linéaire est incluse dans l'ensemble d'arrivée, mais ce n'est pas forcément l'ensemble d'arrivée, sauf si l'application est surjective.


Cdt

[PlaneteF]

Est ce qu'on peut dire que l'ensemble d'arrivé est R₀[X]?

Non, cf. message précédent.

Cdt

[invite90cb9b7c]

ok, donc l'ensemble image est R₀[X]?

la matrice de theta est donc :
-1 0 1
0 0 0
0 0 0

et u(x,y,z) appartient au ker(theta) si et seulement si x=z, soit u=(x,y,x)=x(1,0,1)+y(0,1,0).
ker(theta)=Vect{(1,0,1);(0,1,0 )}
donc P1=1+X² et P2=X

[PlaneteF]

ok, donc l'ensemble image est R₀[X]?

Si l'on prend en compte ce que tu as écrit jusque là, tu as démontré que : . Mais tu n'as pas montré l'inclusion dans l'autre sens.

Par ailleurs tu n'as toujours pas montré que était une application linéaire.

Cdt

[invite90cb9b7c]

oui mais démontrer que theta est une application linéaire c'est juste une question de cours sans difficulté, je m'intérresse plutôt sur quoi je bute, et surtout vérifier sommairement si mon raisonnement de base est juste.

[Resartus]

Bonjour,
Je vais encore insister... Si c'est bien (1-X²) P'', le terme en x² n'est pas nul

[PlaneteF]

oui mais démontrer que theta est une application linéaire c'est juste une question de cours sans difficulté, je m'intérresse plutôt sur quoi je bute, et surtout vérifier sommairement si mon raisonnement de base est juste.

Mais tu écris ceci dans ton premier message :

Je sais pas trop comment prouver que c'est un endomorphisme.

We're not psychic!

[invite90cb9b7c]

Bonjour,
Je vais encore insister... Si c'est bien (1-X²) P'', le terme en x² n'est pas nul

p(X)= aX²+bX+c
p'(X)=2aX+b
p"(X)=2a
Q(X)=1/2(1-X²)(2a)+x(2aX+b)-aX²-bX-c=a-c mais où j'ai faux???

où

[invite51d17075]

@Planète:
la forme de mes messages était disproportionnée.
tel que l'énoncé est écrit : theta ne peux pas être un endomorphisme de par sa définition. ( espace d'arrivée différent )
j'en suis totalement d'accord, et il était sain de le rappeler.
j'ai, pour ma part attribué cette écriture initiale ( premier post ) à une boulette du prof.
à moins que cela ne soit un piège, mais cela me semble peut probable sinon on aurait pas demandé à l'élève de faire un calcul.
donc , je n'insiste pas et te présente mes excuses pour la tonalité de mes réponses.
@inkii999:
ton calcul est juste.
je n'ai pas compris ce que tu réponds sur la linéarité , je n'ai pas vu de ligne de démonstration ici.

[invite90cb9b7c]

ok merci pour vos réponses, j'ai été déstabilisé par cette question d'endomorphisme de R2[X], puisqu'en faisant les calculs je tombais sur un espace image =R, je pensais avoir fait une erreur quelque part ou ne pas avoir compris l'énoncé.

[gg0]

Attention,

comme Q(X)=a-c, l'image Q(X) de P(X), ou, pour être précis l'image Q de P n'est pas un réel, mais un polynôme (le polynôme Q) constant.
Dans ces exercices d'algèbre, il faut bien avoir conscience de ce que dénotent les lettres et notations, et de faire bien la distinction entre les choses différentes, même liées : Entre f et f(x), par exemple, entre le polynôme constant Q défini par Q(X)=a-c =0X²+0X+(a-c) et le réel a-c, etc.

Bonne continuation !

[invite51d17075]

pour être précis, le pb n'est pas sur la nature de ton espace "image" d'arrivé puisque tu montres qui est inclus dans
le souci vient de la définition initiale de :

définissons l'application

ici , par définition l'application n'est pas de E->E , ce qui est la base formelle d'un endomorphisme.
d'où le débat qui a suivi.

[invite90cb9b7c]

je suis étudiant à distance au CTES à Marseille, et je me rend compte un peu à la dure, que rien ne vaut le contact avec un prof, pour pouvoir poser poser toutes les questions, se faire corriger directement.... En tout cas merci, petit à petit toutes vos remarques me font progresser, mais il y a beaucoup de boulot....

[PlaneteF]

@Planète:
la forme de mes messages était disproportionnée.
tel que l'énoncé est écrit : theta ne peux pas être un endomorphisme de par sa définition. ( espace d'arrivée différent )
j'en suis totalement d'accord, et il était sain de le rappeler.
j'ai, pour ma part attribué cette écriture initiale ( premier post ) à une boulette du prof.
à moins que cela ne soit un piège, mais cela me semble peut probable sinon on aurait pas demandé à l'élève de faire un calcul.
donc , je n'insiste pas et te présente mes excuses pour la tonalité de mes réponses.

Bonsoir. Pas de problème ansset, d'ailleurs personnellement je n'avais rien remarqué quant à la forme de tes messages et la tonalité de tes réponses.

Cordialement

[invite156cfd77]

Pour info, en cherchant bien on peut trouver deux définitions différentes à Kn[X]:
- Pour l'une c'est l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n;
- Pour l'autre c'est l'ensemble des polynômes de degré égal à n.

[gg0]

Dans le deuxième cas, ce n'est pas un espace vectoriel pour les opérations classiques. Donc c'est une notation peu usitée, à éviter.

Tu as des références d'emploi (hors exercice) ?

Cordialement.