Algèbre - idéaux

[invite1dee08ef]

Bonjour,
je souhaiterais comprendre voire démontrer la proposition suivante :

est un anneau commutatif unitaire non trivial et intègre.

Soit non nul. Si est premier alors est irréductible.

Ca me parait simple, mais quelque chose m'échappe. Déjà je en comprends pas pourquoi un idéal principal n'est pas forcément premier. Vu que c'est l'ensemble des avec , donc forcément que cet idéal est premier non? Vu que tous les éléments s'écrivent sous cette forme-là.

Je vous remercie d'avance pour votre aide
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[Resartus]

Bonjour,
Un idéal engendré par un seul élément est en effet principal, mais ce n'est pas pareil que premier.
La définition habituelle d'un idéal premier est que le quotient A/(a) est intègre. Si a possède des diviseurs différents de 1, ce ne sera pas le cas, car ces diviseurs de a vont fournir des diviseurs de zero dans le quotient.

[invite1dee08ef]

Ah merci, c'est plus clair maintenant !