Etude de dérivabilité

[skapgoat]

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide sur l'exercice suivant, pour la continuité je pense que c'est bon, par contre je n'y arrive pas pour la dérivabilité:

On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par:
f(x)= 2+e^(-(1/(x-2)^2)) si x =/= 2 et f(x)=2 si x=2
Étudier la continuité et la dérivabilité de f.


Par composition de fonctions continues, f est continue sur IR \ {2}.

Étude en 2:
lim x->2 de 2+e^(-(1/(x-2)^2)) = 2 + lim x->2 de e^(-(1/(x-2)^2)) = 2 + lim X->+inf de e^(-X) = 2 = f(2)
La fonction f est donc bien continue sur IR.

Ensuite, par composition de fonctions dérivables, f est dérivable sur IR \ {2}.

Puis là, je dois calculer la dérivabilité en 2 c'est bien ça?
Faut-il dire:

On a f(2)=2.
Posons pour x=/=0, f(x)= f(x)- f(2)/x-2 = ??? ; or on sait que : lim x→2 f(x) = 2, on a donc f(x) = f(f) = f, ce qui prouve que f est dérivable en 2 et que f’(x)=??.

Est-ce que je fais fausse route?

Merci !
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[gg0]

Bonjour Skapgoat.

"Posons pour x=/=0, f(x)= f(x)- f(2)/x-2 = ...
Est-ce que je fais fausse route? "

Oui ! Tu "poses" une égalité fausse. De plus, f(x)- f(2)/x-2 c'est f(x)-2 -[f(2)/x]. Je pense que ce n'est pas ce dont tu voulais parler.
Et la suite est du n'importe quoi !! "donc f(x) = f(f) = f" est absurde ! Te rends-tu compte de ce que tu écris ????
par contre, comme tu n'as pas, à priori de théorème, il te suffit d'appliquer la définition de la dérivabilité, donc d'étudier la limite, quand x tend vers 2 de (f(x)- f(2))/(x-2) (qui n'est pas f(x)).

Cordialement.