Demonstration Mathematique

[touslesroles]

Bonjour,
Je vous remercie d'avance pour votre lecture.
En faite j'aime beaucoup les Maths car pour moi ils sont a la base de toute science.Pourtant, je n'arrive pas a imaginer dans cette cabosse qui me sert de tête les procédés a suivre pour effectuer une démonstration, ni même parfois a comprendre ce qui m'est demandé.J'ai beau passé une après midi entière a essayer de comprendre RIEN.voila L'exercice suivant en LOGIQUE MATHÉMATIQUE:

Montrer que : ∀ ε > 0 ∃N∈ ℕ tel que (n ≥ N ⇒ 2 - ε < (2n+1)/(n+2) < 2 + ε )

Pour tout vous dire je peux lire cet énoncé mais je ne peux même pas comprendre ce que je dois montrer ni la présence et l'utilité du petit "n" dans l’énoncé.

Pour résumé. Quand je suis en face d'un nouveau problème de démonstration mathématique je ne sais JAMAIS(JAMAIS) quoi faire.Je suis obliger de regarder la correction pour comprendre le procédé et parfois même j'y passe du temps.

Mon problème ne se situe pas a la compréhension du cours mais plutôt a l'application des leçons apprises.
Un autre exemple: Après avoir encore appris les cours sur les implications , équivalence (...) , raisonnement par absurde et autres. Je traite mon premier exercice ou il m'est demandé de démontrer que:

soient a,b ≥ 0 , Montrer que si (a/(b+1))=(b/(a+1)) alors a=b

Bien évidemment je connais mes définitions et les comprends mais je n'arrive pas a écrire une ligne pour commencer cette démonstration.

Donc mon problème exposé, Je vous prie de bien vouloir m'aider svp car j'aime beaucoup cette matière mais malgré tous mes efforts(BEAUCOUP) je n'arrive pas a être bon.J'ai l'impression que la seule manière pour moi d’évolué est d'apprendre toutes les procédés démonstrations par cœur ce qui est assez inutile et impossible pour moi.Si vous avez donc des tuo ou si vous êtes passer par la et avez dépassé cette étape je vous prie de bien vouloir m'aider.
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[gg0]

Bonjour.

Je vais commencer par le deuxième, mais avant, une remarque générale : la démonstration procède du connu à l'inconnu, du sûr à ce qui l'est moins, en termes mathématiques, de l'hypothèse à la conclusion. mais il ne faut pas confondre ça avec la recherche de ce que sera la démonstration, qui utilise tout pour tracer ce chemin de l'hypothèse jusqu'à la conclusion. dans la recherche, on utilise tout : hypothèse, conclusion, définitions, théorèmes, méthodes ...
Donc "soient a,b ≥ 0 , Montrer que si (a/(b+1))=(b/(a+1)) alors a=b"
Ici, l'hypothèse est que a et b sont positifs (elle sert deux fois, elle permet d'être sûr que les fraction existent, puis encore à la fin), puis on a une implication à prouver, ce qui veut dire qu'on a à prouver que l'hypothèse de l'implication :

permet d'arriver à la conclusion a=b.
Il te reste à trouver un chemin. Très simple ici, car tu peux partir de l'hypothèse et fortement simplifier (tu as appris à le faire quand tu étudiais les fractions, naguère). Puis une transformation simple permet de tout mettre dans un même membre et de factoriser; et l'hypothèse sur a et b permet de conclure..
C'est un cas où on écrit une hypothèse, on la transforme quasi par habitude (*) et c'est fini

Je te laisse trouver et rédiger.

(A suivre)


(*) si on a appris au bon moment. Et compris les méthodes.

[gg0]

Passons au premier énoncé :
Montrer que : ∀ ε > 0 ∃N∈ ℕ tel que (n ≥ N ⇒ 2 - ε < (2n+1)/(n+2) < 2 + ε )Il est d'une plus grande difficulté. D'ailleurs, ta question sur l'utilité du n est pertinente, il y a là une "quantification implicite" (c'est tellement habituel pour celui qui a rédigé l'exercice qu'il oublie de l'écrire. Donc je complète, n est un entier quelconque. Et donc l'hypothèse de l'implication entre parenthèse est "pour n'importe quel entier supérieur ou égal à N on a ..."
∀ ε > 0 ∃N∈ ℕ tel que (∀ n entier, n ≥ N ⇒ 2 - ε < (2n+1)/(n+2) < 2 + ε )

En fait, cet énoncé sert pour prouver (avec la définition) que la limite de la suite u_n=(2n+1)/(n+2) est 2. Une fois choisi un écart ε, on veut pouvoir assurer qu'à partir d'un certain moment, dans l'énumération des termes de la suite, on sera toujours à moins de ε de 2.
Ici, c'est moins évident. On va chercher au brouillon quelles sont les conditions sur n pour que l'on ait 2 - ε < (2n+1)/(n+2) < 2 + ε . On trouvera une condition du genre n ≥ ... et on prendra pour n le ... si c'est un entier, ou le premier entier supérieur sinon. Puis on peut rédiger la preuve :
Soit ε quelconque (*). Posons N= ... (**) puis on rédige la preuve de l'implication à partir de l'hypothèse n ≥ N.

A toi de faire.

Cordialement.

(*) Comme c'est "quel que soit ε", on n'a pas le choix de ε, donc il est une lettre dont la valeur ne dépend pas de nous.
(*) Comme on veut prouver que N existe, il suffit d'en trouver une valeur qui fonctionne, donc on le choisit.

[touslesroles]

Bonjour.
(...) soient a,b ≥ 0 , Montrer que si (a/(b+1))=(b/(a+1)) alors a=b (...).
Il te reste à trouver un chemin. Très simple ici, car tu peux partir de l'hypothèse et fortement simplifier (tu as appris à le faire quand tu étudiais les fractions, naguère). Puis une transformation simple permet de tout mettre dans un même membre et de factoriser; et l'hypothèse sur a et b permet de conclure.

Je m'excuse si les solutions a mes questions peuvent vous paraître évidentes mais il se trouve que je suis vraiment nul et merci beaucoup pour vos réponses.

La démonstration de cet exercice implique t'il de forcement passer par l'absurde ? Car a par ça je ne vois pas comment partir de : (a/(b+1))=(b/(a+1)) et arriver à a=b.
Le chemin que moi j'ai utilisé me mène à : a + b = -1 en ayant utiliser la règle de trois ordonner et simplifier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Cette fois-ci, c'est moi qui ne comprends pas de quoi tu parles ("la règle de trois ordonner et simplifier"). N'importe comment a + b = -1 n'est pas possible, puisque du départ, a et b sont positifs.
Écris tes calculs, je pourrai comprendre. Il n'y a pas besoin de preuve par l'absurde, la preuve se fait directement.

Sinon, il est faux que "les solutions a [mes] tes questions peuvent [vous] me paraître évidentes". Autant la deuxième question est simple, autant la première a fait suer sang et eau (sur des expressions différentes) à des générations de lycéens (jusque vers 1990) et étudiants.

Cordialement.

[PlaneteF]

Bonsoir,

(...) la règle de trois (...)

... Ce ne serait pas plutôt le produit en croix ?!


Cordialement

[gg0]

Oui, sans doute. Attendons les calculs de Touslesroles.

Cordialement.

[touslesroles]

Cette fois-ci, c'est moi qui ne comprends pas de quoi tu parles ("la règle de trois ordonner et simplifier"). N'importe comment a + b = -1 n'est pas possible, puisque du départ, a et b sont positifs.
Écris tes calculs, je pourrai comprendre. Il n'y a pas besoin de preuve par l'absurde, la preuve se fait directement.

Sinon, il est faux que "les solutions a [mes] tes questions peuvent [vous] me paraître évidentes". Autant la deuxième question est simple, autant la première a fait suer sang et eau (sur des expressions différentes) à des générations de lycéens (jusque vers 1990) et étudiants.

Cordialement.

En faite je ne vois pas comment proceder si ce n'est pas appliquer un raisonnement par l'absurde qui suit en supposant que


et comme a et b sont positifs on cela dernier résultat est impossible.On conclus donc que l'implication est vérifié.
Je ne sais si c'est ce dont vous me parliez plus tôt dans la manière dont je dois procéder. Est-ce exacte ?
Comme je l'ai dis dans mon premier message.Si je n'avais pas regarder la correction de cet exercice après avoir longuement réfléchis dessus la première fois je n'aurais pas été capable de pondre cette solution comme toute autre exercice me demandant une démonstration.

Bonsoir,

... Ce ne serait pas plutôt le produit en croix ?!

Cordialement

Effectivement excuser moi pour cette erreur.

[touslesroles]

En faite la raison de mon post n'est pas de résoudre c'est deux exercices.
Ce que je veux plutôt savoir c'est comment est ce que vous arrivez à imaginer le cheminement pour la démonstration , qu'est ce qu'il faut faire,par où commencer, quel transformation vas me permettre d'arriver au résultat. Je pense que vous ne pouvez pas m'apprendre çà mais si vous avez des ressources vers lesquelles me dirigé merci d'avance.
Monsieur gg0 je vous remercie beaucoup pour votre attention vous avez dis plutôt que la démonstration procède du connu a l'inconnu mais lorsque je fais face a un problème tel que celui la :
Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Montrer que (∃ k ∈ N/ b = ka et ∃ k ∈ N/ a = kb) ⇒ a = b.

Tous ce que je sais c'est que je dois montrer que:

-Si il existe un entier naturel k et que b= ka et a=kb alors a=b

Quand j'essaie de résoudre cet exercice voila ce que je me dis:
-C'est une démonstration d'implication je pourrais donc soit raisonner par l'absurde ou soit raisonner par contraposé
Si je raisonne par Contraposé, je devrais prouver donc que:


-Mais c'est tous se que j'arrive a faire je ne sais absolument plus quoi faire ensuite...Par ou commencer...
Si je raisonne par absurde je devrais donc:

Supposer que a ≠ b et prouver que avec cette hypothèse que (∃ k ∈ N/ b = ka et ∃ k ∈ N/ a = kb) est à la fois faux et vrai

Même chose je ne sais plus quoi faire ensuite.
Vous voyez un peu maintenant l'étendu des dégâts ?
Je vous remercie d'avoir pris votre temps pour me lire.

[gg0]

En faite je ne vois pas comment proceder si ce n'est pas appliquer un raisonnement par l'absurde qui suit en supposant que

La dernière équivalence est fausse. Comme tu ne détaille pas le calcul que tu as fait, difficile de savoir si tu as "simplifié a d'un côté à l'autre" et idem pour b ou autre chose.
Mais si on applique les règles de manipulation des égalités, on n'arrive pas à ça.
J'attends ta justification détaillée.

Autre chose : le fait d'arriver à partir d'une équation à "pas de solution" n'a rien à voir avec une preuve par l'absurde (généralement on appelle ainsi une preuve par contraposition). C'est une preuve directe qu'il n'y a pas de solution. Tu devrais revoir comment on commence une preuve par l'absurde.
Toi, ce que tu dis c'est "cherchons x tel que x=2 et x=3; on en déduit 2=3 ce (pas cela) dernier résultat est impossible.On conclus donc que l'existence de x est vérifié."

Cordialement.

[gg0]

Ce que je veux plutôt savoir c'est comment est ce que vous arrivez à imaginer le cheminement pour la démonstration

En en faisant, en comprenant la situation, en ayant fait des calculs et des raisonnements.

par exemple pour ton exemple avec a=kb et b=ka, une minime manipulation des deux égalités donne a=k²a et la suite est facile. Je ne sais pas pourquoi tu tiens à contraposer, ou à chercher des choses difficiles. Quand on n'a pas d'idée sur une preuve directe, oui, on va chercher autre chose. mais d'abord, on regarde et on essaie.
Ta difficulté n'est pas de raisonner, mais de calculer.