Bonjour,
J'aimerais savoir comment peut-on s'assurer du fait qu'un espace contienne une boule ? Et comment peut-on simplement voir si un espace est ouvert ou non, sans utiliser les propriétés mathématiques, en fait je voudrais savoir ce qu'est un espace ouvert tout simplement sans complications et théorèmes.
Merci d'avance.
Bonjour.
Ta question n'a pas bien de sens. Déjà, "un espace" ne veut rien dire. On rencontre en maths, des "espaces affines", des "espaces topologiques", des "espaces euclidiens", etc. Mais jamais sans un qualificatif qui explique de quoi il s'agit. Et un "espace ouvert", ça n'est pas non plus défini.
Par contre, en topologie, on définit les espaces topologiques. Dans un espace topologique (E,T), E est un ensemble (à priori quelconque), T un ensemble de parties de E, et T vérifie quelques règles simples. Les éléments de T, les parties de E qui sont dans T, sont les ouverts.
Quant à savoir à priori si une partie de E est un ouvert, ça dépend des circonstances. D’ailleurs, je ne comprends pas trop ton "sans utiliser les propriétés mathématiques".
Maintenant, il est possible (vu ce que tu écris) que tu aies vu la notion "d'espace métrique", dont la topologie est donné par une distance. Et que tu voudrais savoir comment on peut avoir l'intuition qu'une partie est un ouvert de l'espace métrique. Comme cette intuition est construite sur de nombreux exemples et exercice, elle n'apparaît pas immédiatement, sauf justement dans les cas où on pense facilement à la boule qui contient n'importe quel point. Et pour savoir ce qu'est un ouvert d'un espace métrique, on pense à la définition. Ni complication, ni théorème, juste la définition, bien comprise et bien sue.
Si c'est bien les espaces métriques que tu as vu en cours, il te reste à faire ce qu'il faut pour construire ton intuition : Apprendre à fond le cours, le comprendre complétement, et faire avec ce cours le maximum d'exercices. Il n'y a pas de raccourci.
Cordialement.
Bonjour,
Pour un exemple encore plus visuelle que les espaces métriques où il peut y avoir des topologies un peu bizarres( la topologie discrète par exemple ), tu peux regarder les espaces vectoriels de dimension finie E ( sur R ou C) ,par exemple, que tu munies d une norme. Alors dans ce cas un sous ensemble O de E est ouvert ssi autour de chaque éléments x de O tu as encore un peu de place autour de x dans O. En un sens (qu il faudrait préciser), c est demander à O, qu il ne contienne pas sa frontière.
