EDP quasi lineaire de 1er ordre

[invite7253bb81]

bonjour, svp aidez moi à resoudre cette EDP quasi lineaire de premier ordre:
resoudre l'EDP :

où u est une fonction de x et y et de classe C1.
je connais, en utilisant la methode des caracteristiques, que le systeme caracteristique associé a cette EDP est :


mais comment resoudre ce systeme differentiel?

Merci d'avace.

[Resartus]

Bonjour,
Si les équations que tu indiques étaient correctes, la résolution serait assez facile :
En multipliant par x, on a
dln(u)=xdx/(x²-y))= 1/2 dx²/(x²-y) soit : ln(u)=1/2ln(x2-y) +G(y) puis utiliser l'autre équation pour trouver G(y)

Mais ici, cela ne marchera pas, car en vertu du théorème de Schwarz, on devrait avoir :
d/dx(du/dy)=d/dy(du/dx).

Or on peut vérifier que ce n'est pas le cas ici : donc u ne peut pas être une fonction d'état (fonction seulement de x et de y), mais sa valeur en un point x, y donné va dépendre du parcours*.

Comme ta question porte sur une "vraie" fonction C1 de x, y, l'équation différentielle que tu as trouvée doit être fausse...


*On peut rencontrer cela en physique, en thermodynamique par exemple pour la quantité de chaleur, où on est obligé de ruser (diviser par la température) pour obtenir l'entropie qui elle est bien une fonction d'état.

[invite63e767fa]

Bonjour,

le système caractéristique donné par Mike789 est correct.

Mais il faut bien comprendre sa signification : les EDO qui sont ainsi définies ne sont valides que sur les courbes caractéristiques et non d'une façon générale. De ce fait, l'intégration faite par Restartus et qui conduit à ln(u)=(1/2)ln(x²-y)+G(y) est fausse car sur une courbe caractéristique, y est fonction de x. On ne peut donc pas considérer y comme un paramètre constant. Le raisonnement qui confond le u du système caractéristique avec la solution générale u de l'EDP doit être rejetté.

La méthode normale consisterait à résoudre l'équation différentielle (x²-y(x))y'(x)=ln(x)-cos(y(x)). Si on pouvait exprimer la solution sous la forme d'une équation implicite f(x,y)=c₁ alors, on aurait ainsi obtenu l'équation d'une première fonction caractéristique.

Alors seulement, l'équation du/u=x/(x²-y(x)) serait (théoriquement) intégrable avec y(x) venant de f(x,y)=c₁ soit: ln(u)=g(x,c₁)+constante.

Ceci conduirait à l'équation d'une deuxième fonction caractéristique sous la forme u*exp(-g(x,c₁))=c₂.

La solution générale de EDP se présenterait alors sous la forme d'une équation implicite : Fonction (c₁,c₂)=0. Ou, sous une forme équivalente :
u(x,y)=exp(g(x,f(x,y)))F(f(x,y ))
dans laquelle f(x,y) et g(x,y) sont connues et F est une fonction dérivable quelconque.

Mais tout ceci est purement formel. Pour aboutir à un résultat explicite, cela suppose en premier lieu que l'on puisse résoudre analytiquement l'EDO : (x²-y(x))y'(x)=ln(x)-cos(y(x)).

Je doute fortement de cette possibilité. Ceci ne veut pas dire que l'EDP n'a pas de solution (générale ou particulière). Bien entendu, les solutions existent. Mais on ne sait pas les exprimer avec les fonctions élémentaires et spéciales actuellement répertoriées.

[invite7253bb81]

Merci pour l'explication

[A voir en vidéo sur Futura]