Décomposition d'une grande matrice en sous matrices

[wozniak]

Bonjour,

J'ai une très grande matrice carrée (800 000 x 800 000) , je voudrais savoir s'il vous plait si existe une méthode pour décomposer cette matrice en plusieurs sous-matrices comme le montre l'exemple suivant:

- matrice M ( 800 000 x 800 000)
- décomposée en plusieurs sous-matrices A (100 x 100), B (100 x 100), etc...

Je voudrais surtout savoir si y a une relation entre les Vecteurs propres des sous-matrices et et la matrice M principale.

en d'autres termes et à titre d'exemple : VecteursPropres(A) + VecteursPropres(B) + .... = VecteursPropres(M)


Merci par avance.
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[Dlzlogic]

Bonjour,
Sans être curieux, j'aimerais bien savoir ce qui vous a amené à avoir une si grande matrice. Sur quel support la conservez-vous ?

[Resartus]

Bonjour,
On peut supposer qu'il y a beaucoup de zeros....
Dans ce cas, il faut essayer de la mettre sous une forme de matrices carrés (qui pourront être de taille variable) dans la diagonale et des zero partout ailleurs, et les vecteurs propres de la grande matrice seront les vecteurs propres de chaque "petite" matrice complétés par des zero. Pour obtenir ces carrés, il faudra peut-être renuméroter les vecteurs de la base

Peut-être disposez-vous déjà de ces petites matrices (vos A, B...) si l'ensemble des indices de lignes et de colonne fournissant des valeurs non nulles de chaque matrice est différent des ensembles d'indices utilisés par les autres matrices.

S'il y a des mélanges (indices utilisés par plusieurs matrices), on peut les regrouper par arriver à constituer des ensembles disjoints d'indices.

Sinon, une autre manière plus précise mais un peu plus difficile à programmer est de partir d'un vecteur de la base, de le transformer en mémorisant les indices des coordonnées qui sont non nulles dans l'image et d'itérer. Au bout d'un certain temps, on n'obtient plus de nouvel indice, et le sous espace correspondant à tous les indices utilisés est stable par la transformation et fournit une "petite" matrice. On repart alors d'un indice non utilisé, etc.

Mais rien ne prouve que la taille de ces matrices carrées sera petite. Si on prend un exemple de matrice presque vide
comme celle ci A(i+1,i)=1 et tout le reste zero ("seulement" 800 000 valeurs non nulles), on ne pourra pas trouver de sous matrices...

[Médiat]

Bonjour,

("seulement" 800 000 valeurs non nulles)

Ce ne serait pas plutôt 799 999 (ou alors le calcul des indices est modulo 800 000) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Bonjour,

pour ça il faut savoir si la matrice est "à peu près" diagonale, voire meme creuse (i.e. beaucoup de zéros loin de la diagonale). S'il n'y a que des zéros en dehors de quelques valeurs du centre de la diagonale (on l'appelle tridiagonale s'il n'y a que 3 valeurs non-nulles par ligne) vous pouvez faire des matrices nulles sur les deux coins opposés, et réitérer jusqu'à avoir de petites sous-matrices tri-diagonales et beaucoup de sous-matrices nulles.
Si c'est pour un calcul de dérivée dans un domaine de manière implicite ou truc du genre, ça sera le cas.

[Noress]

Bonjour,

- matrice M ( 800 000 x 800 000)
- décomposée en plusieurs sous-matrices A (100 x 100), B (100 x 100), etc...

Je me trompe peut-être mais il me semble que M est déjà découpée en régions (A, B....) et peut-être que la question consiste à déduire des résultats mathématiques sur M en "compilant" les résultats de toutes les régions. (à prendre mes propos avec des pincettes).

Cordialement.