limite integrale dependant d'un parametre

[mike789]

Bonjour, svp aidez moi à calculer cette limite:



merci d'avance
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[ansset]

bjr,
tu es sur des bornes de ton intégrale ?
parce que ta fct à intégrer n'est pas définie sur plusieurs intervalles entre les bornes !

[Resartus]

Bonjour,
Etes-vous sûr de vos formules? Car le terme sous la première racine va prendre des valeurs négatives entre 1 et 8, si x est assez grand...

[mike789]

excusez moi j'ai fait une faute en copiant l'exercice, 3/2 pas 8, je vais corriger

[A voir en vidéo sur Futura]

[mike789]

voici la bonne question, svp aidez moi à faire cette limite
merci

[ansset]

bonsoir,
les deux derniers termes sous chaque racine sont << cos(t)x² quand x->l'inf ( cos(t) non nul >0,07 ).
on peut ( je crois mettre donc cos(t)x² en facteur et réduire chaque racine de la forme
avec f <<1 d'où

en simplifiant on obtient une intégrale qui fait disparaître les x ( en négligeant les termes en (1/x)
et simplement je retrouve l'intégrale


je n'y ai pas réfléchi, peut être avec un DL ad hoc.

[ansset]

ps : que resartus me corrige s'il le faut ( il est plus fort que moi en math ).
et SI mon approche est juste , je n'ai pas d'idée pour résoudre cette intégrale simplifiée.
il faudrait par contre voir ( avec un site de calcul ) si cela correspond bien.

[mike789]

Bonsoir,
J'ai pense de la meme maniere cela veut dire que f
Converge simplement vers la fonction que vous avez trouvé, alors il faut prouver qu'elle converge uniforment ou soit appliquer le de convergence domine, mais comment faire cela?

[ansset]

je me suis mal exprimé , car il y a un f différent pour chaque racine.
c'est ensuite quand on simplifie les deux expressions que j'arrive ( à tord ou à raison ) à cette réduction de l'intégrale qui ne dépend plus de x quand celui ci tend vers l'inf.
si tu as un logiciel de calcul formel on peut "peut être" comparer les deux intégrales pour x "grand".

[ansset]

visiblement, trop approximatif, ( ne semble pas conforme aux simulations sur wolfram ) le DL initial des racines à l'ordre 1 ne suffit pas. (1+a)^(0,5) eq à 1+(0,5)a )
mais je me demande d'où vient cette intégrale étrange".
d'un calcul intermédiaire ?
Cdt

[mike789]

Un exo d'un livre

[ansset]

re-
j'ai refais mon approximation et le DL à l'ordre 1 des racines semble suffire , les autres termes sont à minima en a/x avec a>0 .
donc , soit j'ai une coquille dans mon calcul, soit wolfram n'est pas peut être pas tj très précis.
ps : les écarts constatés entre la première intégrale avec x "grand" et l'intégrale simplifiée restent quand même "petits" ( en relatif) alors qu'on intègre sur un x très grand.
il faudrait une simu avec un autre logiciel de calcul formel.
reste ( si la réponse est correcte ) de finaliser cette intégrale qui est quand même tordue !

[mike789]

Je n'arrive pas a majorer la fonction consideré

[ansset]

Je n'arrive pas a majorer la fonction consideré

c'est une autre question
entre la calculer et la majorer !

[mike789]

Est ce qu'il suffit de dire que si f admet une limite simple alors sa limite existe (cad cest pas necessaire qu'elle soit uniformement continue)?

[Resartus]

Bonjour,
Je ne sais plus très bien quelle était la question.
Calculer la limite n'est pas possible par des fonctions élémentaires.
S'il s'agit de montrer qu'elle existe, majorer et minorer ne suffit pas, car elle pourrait très bien osciller entre deux valeurs...

Par contre, le fait de montrer, comme l'a indiqué Ansett, que pour x assez grand, le terme sous l'intégrale est la somme d'une fonction définie et d'un terme de l'ordre de A/x suffit pour démontrer que la limite existe, car en intégrant, on va retrouver une intégrale définie et un terme qui tend vers zero.

[mike789]

Merci pour l'aide