Quand un nombre est-il inférieur à un autre nombre ?

[andretou]

Oui, a ceci pres qu'il n'y a pas d'ordre naturel sur une droite, néanmoins si vous "importez" l'ordre sur R (et sa topologie également) sur une droite (affine réelle), via le choix d'une origine, alors oui c'est vrai.

Merci MiPaMa ! Puis-je encore vous demander comment cette propriété des points se formule en mathématiques (en physique on évoquerait peut-être la discontinuité) ?
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[invite47ecce17]

Y a pas vraiment de nom, ou plutot y a plusieurs noms qui pourraient recouvrir ce que vous avez en tete, de connexe, à localement homeomorphe à R (voir à R^n, ce que d'aucuns appellent parfois localement euclidien), mais encore une fois ca n'enapsule pas ce que vous voulez dire non plus, puisque une droite affine sur Q a aussi ces propriétés (un point n'a pas de "successeur immédiat"), et elle n'est ni connexe ni localement euclidienne.

[andretou]

Quelle est la question mathématiques à laquelle vous voulez répondre, à la fin? (et non "est ce que les réels se touchent ou non, n'est pas une question mathematiques).

J'essaie modestement, avec mes moyens certes très limités, de comprendre la nature profonde des espaces mathématiques (le plan, la droite, IR)... Manifestement, la notion naturelle et spontanée d'espace "continu" n'est pas si évidente.

[invite47ecce17]

Alors, je vous le dis, si c'est vraiment ce que vous voulez, votre démarche n'est pas la bonne.
La notion d'espace continu a mis longtemps a emerger (en fait, elle a en quelque sorte "disparu" pour donner lieu a une constellation de differentes "nuances de continuité" quand on parle d'un espace et qu'on appelle differement, aucune d'elle n'a hérité du sobriquet d'espace continu), néanmoins, on a de la chance les mathématiciens ont mis a jour les "bons" concepts au fil du temps. De sorte que maintenant il vous suffit de lire un livre de maths, et là aussi, apprendre les notions dans un livre est (infiniement) plus rapide que les decouvrir soi meme.

[invite47ecce17]

Manifestement, la notion naturelle et spontanée d'espace "continu" n'est pas si évidente.

A vrai dire je ne connais pas beaucoup de notions naturelles et spontanées qui ne deviennent pas "pas si evidente" quand on l'examine un tant soit peu, et qu'on essaie de la formaliser.
Notre "image mentale" naturelle du monde contient enormément d'implicite et d'imprecisions.

[andretou]

Alors, je vous le dis, si c'est vraiment ce que vous voulez, votre démarche n'est pas la bonne.
La notion d'espace continu a mis longtemps a emerger (en fait, elle a en quelque sorte "disparu" pour donner lieu a une constellation de differentes "nuances de continuité" quand on parle d'un espace et qu'on appelle differement, aucune d'elle n'a hérité du sobriquet d'espace continu), néanmoins, on a de la chance les mathématiciens ont mis a jour les "bons" concepts au fil du temps. De sorte que maintenant il vous suffit de lire un livre de maths, et là aussi, apprendre les notions dans un livre est (infiniement) plus rapide que les decouvrir soi meme.

D'accord, mais je voudrais quand même faire valoir que la notion de continuité est la seule enseignée jusqu'au bac et même au-delà (associée au concept de dérivabilité).
Ces "nuances de continuité" sont véritablement une découverte pour moi.

[invite47ecce17]

Non, la notion de continuité qui est enseignée jusqu'au bac (ou en debut de supérieur) est celle de la continuité d'une fonction (ou d'une application), pas d'un espace. Et d'ailleurs bien souvent uniquement de fonction de R dans R ou d'un intervalle de R dans R.
La définition de la continuité d'une fonction donné au bac est la bonne (a quelques grains de sels pres) et elle est "unique" (toujours a un ou deux grains de sels pres).
La notion de "continuité" d'un espace est plus delicate et recouvre plusieurs notions, independantes les une des autres. Le vocable "espace continu" n'existe pas en maths et est simplement "informel" dans certains contextes.

Ca ne rend pas votre questionnement "idiot", seulement votre questionnement devrait plutot etre "qu'est ce qu'un espace continu en mathématiques?". Et comme je vous l'ai dit plus haut, il y a plusieurs nuances qui peuvent pretendre a ce titre.

[Médiat]

Bonjour MiPaMa,

+1 bien sûr, et j'ajoute, qu'avec la topologie usuelle toutes les fonctions de IN dans IN sont continues, et pourtant c'est pas les "trous" qui manquent

[andretou]

A vrai dire je ne connais pas beaucoup de notions naturelles et spontanées qui ne deviennent pas "pas si evidente" quand on l'examine un tant soit peu, et qu'on essaie de la formaliser.
Notre "image mentale" naturelle du monde contient enormément d'implicite et d'imprecisions.

C'est en effet vrai dans tous les domaines de la connaissance, à commencer par les mathématiques ! Qu'y a-t-il de plus élémentaire, de plus naturel, que de compter ? Et pourtant l'arithmétique révèle une complexité inouïe. C'est à mon avis ce qui rend la connaissance passionnante.

[andretou]

votre questionnement devrait plutot etre "qu'est ce qu'un espace continu en mathématiques?".

Merci, c'est en effet la question qui me taraudait sans pouvoir la formuler clairement !
Qui aurait cru que vous parviendriez à entrer dans ma tête ?

[andretou]

Pour compléter cette discussion, si l'on considère un point quelconque d'une droite, que se passe-t-il si l'on se demande à quelle distance se trouve le point le plus proche (disons vers la droite, peu importe) ?
Cette distance ne peut pas être nulle, car alors il s'agirait du même point.
Mais cette distance ne peut pas non plus être non nulle, car si cette distance est non nulle, alors il y aurait un espace entre les deux points et il serait possible de trouver des points intermédiaires.
En conclusion, la distance entre un point quelconque d'une droite et le point le plus proche ne peut pas être nulle, et ne peut pas être non nulle !...
A votre avis, peut-on parler d'indécidabilité ?

[Médiat]

Absolument pas ! Comme on vous l'a déjà dit des dizaines de fois, le point le plus proche n'existe pas !

[andretou]

Absolument pas ! Comme on vous l'a déjà dit des dizaines de fois, le point le plus proche n'existe pas !

Je ne parle pas du successeur, mais du point le plus proche !

[Médiat]

J'abandonne !

[invite47ecce17]

J'abandonne !

Moi aussi, en fait.

[Deedee81]

Salut,

Je ne parle pas du successeur, mais du point le plus proche !

Avec la définition habituelle de la distance..... c'est la même chose !!!!!

Ta phrase signifie que tu ne connais pas en mathématique la signification exacte en mathématique des termes "successeur", "le plus proche".
Ce n'est pas grave, après tout je ne sais pas exactement la définition de cohomologie par exemple, on ne peut pas tout savoir.

Mais dans ce cas, pourquoi ne commences-tu pas par essayer d'apprendre (ici ou mieux dans des documents) les bases des mathématiques et la signification de ces termes (tes questions touchent à la topologie, aux espaces métriques, ... Les espaces métriques ne sont pas très difficiles à apprendre et on trouve facilement de bons documents sur le net. La topologie générale c'est pas trop dur mais quand même un peu plus) ?
Comment oses-tu formuler des raisonnements (message 101) sans même connaitre la signification des mots que tu emploies ?
Est-ce que tu te rends compte qu'en faisant ça tu te moques des gens ?
J'espère que oui et que tu vas vite rectifier.

En tout cas, moi aussi je laisse tomber.

[andretou]

Alors laissons cette question de côté, je suis navré d'avoir posé une mauvaise question.

Je souhaiterais revenir à l'autre question :

la relation d'ordre et même l'égalité ne sont pas calculables entre réels calculables, c'est à dire qu'il n'y a pas d'algorithme donnant la réponse en un temps fini !

Médiat, cette incalculabilité s'applique-t-elle uniquement au cas limite de 0,999... et 1, ou également à d'autres cas ?

[gg0]

Le problème, avec un bot, c'est qu'il reprend sans arrêt le même refrain, même quand on pourrait croire qu'il a compris. Comme il n'a pas de cerveau, pas de compréhension, il recommence.
Et ça a été comme ça à chaque nouvelle question de Andretou le robot.

[Médiat]

Le cas 0.999... et 1 n'est qu'un cas particulier, le principe n'est d'ailleurs pas très compliqué : si vous disposez de 2 algorithmes permettant de calculer les décimales successives de 2 nombres réels, et que l'on demande s'ils sont égaux, tant que les décimales de l'un sont égales aux décimales de l'autre (ou un cas similaire à 0.999... et 1), on ne peut pas conclure, et donc, s'ils sont égaux, on ne peut jamais conclure.

[andretou]

Est-ce à dire qu'aucun algorithme ne peut établir l'égalité entre 0,999... et 1 ?

[Médiat]

Si je vous fourni un algorithme très compliqué qui calcule un nombre entre 0 et 1, dont les 10 premières décimales sont 0.9999999999 qu'en concluez-vous ?
Si les 1000 premières décimales sont des 9 qu'en concluez-vous ? Si les 10^987987987 premières décimales sont des 9 qu'en concluez-vous ?

[Deedee81]

Andretou,

Je te conseille cette lecture :
http://www.lmpt.univ-tours.fr/~gallardo/IntroEspMet.pdf

C'est simple (les espaces métriques c'est franchement pas si compliqué et en plus c'est une introduction. J'ai failli en mettre une autre mais j'ai vu qu'elle nécessitait un peu trop de prérequis)
et ça répondra à presque toutes tes questions (ou même toutes. Toutes tes questions concernent des espaces métriques) ou te permettront d'y répondre facilement.

[invite47ecce17]

Heu, personellement je ne recommanderai pas du tout ce document... a qui que ce soit (entre autre, mais pas seulement parce qu'il est quasi vide).

[andretou]

J'en conclus que, contrairement à un humain, une machine ne peut pas conclure que 0,999... = 1 puisqu'elle ne connaît chaque fois qu'un nombre fini de décimales...

[gg0]

Faux ! les logiciels de calcul formel savent faire :

>sum(9/10^n,n=1..infinity);
1

[azizovsky]

Bonjour, la question

Quand un nombre est-il inférieur à un autre nombre ?

a le même contenu de 'concepts implicites' que de demander qu'il est le nombre inférieure à l'infini?

Dans la droite réelle achevée (l'ensemble ℝ = ℝ∪{−∞, +∞} muni de la topologie de l'ordre),
une base de voisinages de +∞ (resp. −∞) est constituée des intervalles ]M, +∞] (resp. [−∞, M[) où M parcourt ℝ.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Voisin...C3%A9matiques)

[azizovsky]

càd, d'un point de vue purement philosophique (analogique), tu peut faire jouer aux nombres 0.9 et 1 le rôle de -+infini, tu peut prendre un ensemble A=]-0.9,1[ et tu prend l'ensemble achevée A'=A U {0.9,1}, une base de voisinage.......]M,1], M parcours A.

[Juzo]

Bonjour Andretou,

votre question sur les successeurs revient un peu à tenir le raisonnement suivant :
"Un segment est une succession, ou "empilement" de points, or si chaque point a une épaisseur nulle, pourquoi le segment a-t-il une longueur ?"
Ce raisonnement est faux, car il ne faut pas considérer le segment comme un empilement de points.
De même il ne faut pas considérer l'ensemble des réels comme un empilement de nombres.

Je vous propose de changer de point de vue : voir les réels positifs comme des distances par rapport à l'origine, ou "distance à 0", sur un axe gradué.

Vous êtes d'accord que quelle que soit la distance strictement positive à 0 que l'on se trouve, on peut encore s'approcher de 0 ? Donc il n'existe pas de distance minimale strictement positive à 0. Cela ne remet pas en cause l'existence de toutes les distances à 0 possibles.
De même il n'existe pas de nombre réel strictement positif minimal, et cela ne remet pas en cause l'existence tous les nombres réels strictement positifs.

Dans vos messages vous parliez de construire les réels "à partir" du 0, mais cela faisait référence à une notion d'empilement de nombres qu'il faut abandonner car elle n'est pas pertinente pour la construction des réels. De même que la notion d'empilement de points n'est pas pertinente pour la construction d'un segment.

[Deedee81]

Salut,

Heu, personellement je ne recommanderai pas du tout ce document... a qui que ce soit (entre autre, mais pas seulement parce qu'il est quasi vide).

Ah désolé. Si tu avais une autre référence utile pour Andretou ?

[Médiat]

J'en conclus que, contrairement à un humain, une machine ne peut pas conclure que 0,999... = 1 puisqu'elle ne connaît chaque fois qu'un nombre fini de décimales...

Ce n'est pas ce que j'ai écrit, il y a une infinité d'algorithmes qui convergent vers le calcul des décimales successives de 0.999..., certains de ces algorithmes autorisent des calculs simples (pour un être humain ou pour un programme), comme les suites géométriques, d'autres non (pour un être humain ou pour un programme) qui ne délivrent les décimales qu'une par une, et dans ce cas, il est impossible de conclure.