Quand un nombre est-il inférieur à un autre nombre ?

[gg0]

@ andretou

Quel est le successeur de 1 dans R ?

Mauvaise manipulation du français : l'article défini "le" ne s'emploie que s'il n'y a qu'un nom auquel l'attribuer.

Shaams : Pourquoi remettre 100 sous dans la mécanique ? C'est le troll du weekend ?
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[shaams]

Mauvaise manipulation du français : l'article défini "le" ne s'emploie que s'il n'y a qu'un nom auquel l'attribuer.

Shaams : Pourquoi remettre 100 sous dans la mécanique ? C'est le troll du weekend ?

Non c'est pas pour troller, c'est juste qu'en fonction de la réponse d'andretou il sera plus facile de voir à quoi pense il pense et de lui montrer de manière pratique son erreur.

[gg0]

Il suffit de relire pour voir qu'il n'a pas de réponse et compte sur nous pour répondre à cette fausse question.

Cordialement.

[andretou]

@ andretou

Quel est le successeur de 1 dans R ?

Bonjour Shaams
A mon avis (mais MiPaMa conteste cette formulation et je n'ai pas encore fini d'étudier son explication), le plus petit majorant strict de 1 est lim (1+n) quand n tend vers 0.
Sur le fond, la question qui se pose est la suivante : le "successeur immédiat" d'un nombre peut-il exister alors qu'on ne peut pas donner sa valeur exacte ?
Pour ma part je pense que cet argument est insuffisant pour démontrer que le "successeur immédiat" d'un nombre ne peut pas exister car un nombre tel que Pi existe alors qu'on ne peut pas donner sa valeur exacte...

[minushabens]

décidément tu es têtu... on t'a démontré que dans R un nombre n'avait pas de successeur "immédiat". De toutes façons à la base tu as une conception erronée de R comme ensemble ordonné, et je pense des ensembles ordonnés en général. Par exemple tu écris que R est "sans trous" mais il est très facile d'ajouter des éléments à R tout en respectant la relation d'ordre (en étendant l'ordre de R).

[Noress]

Bonjour,
Une petite remarque :

En mathématiques, les nombres surréels sont les éléments d'une classe incluant celle des réels et celle des nombres ordinaux transfinis, et sur laquelle a été définie une structure de corps ; ceci signifie en particulier que l'on définit des inverses des nombres ordinaux transfinis ; ces ordinaux et leurs inverses sont respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif. Les surréels ne forment pas un ensemble au sens de la théorie usuelle.

Les nombres surréels ont été introduits par John Conway et popularisés par Donald Knuth en 1974

Je me trompe peut-être mais j'ai l'impression que sans s'en rendre compte, Andretou, en insistant, tourne autour des nombres surréels de John Conway.
Des Mathématiciens(es) peuvent peut-être apporter des précisions.
Cdt.

PS : je ne maîtrise pas les nombres surréels...

[Superbenji]

Bonsoir,
C'est aussi l'impression que j'ai eu en suivant cette discussion, notament avec cette phrase:

Mais si 0 n'a pas de successeur, dans ce cas comment expliquer qu'il y ait d'autres réels que 0 ?

Peut être andretou cherche t-il le "successeur" dans les réels au sens de construire ceux-ci a partir de 0 et d'une fonction, comme on le fait pour les Naturels.
Ce qui est le cas avec les nombres Surréels.

[gg0]

Ne perdez pas votre temps à imaginer que Andretou sait de quoi il parle. Il manie des mots, seulement des mots. Il a employé, dans une autre discussion, les notions des ensembles finis pour parler des ensembles infini. Sans jamais accepter qu'elles ne soient pas pertinentes. Il emploie ici les notions des nombres entiers dans le domaine du continu. Sans accepter que ce ne soit pas pertinent. l'an prochain, allant à Pékin, il considèrera les gens comme des imbéciles parce qu'ils ne parlent pas le français.

Je ne sais pas quelle perversion le fait revenir sans arrêt poser des questions dont il ne comprend même pas le sens, refuser d'accepter les conséquences des règles qu'il accepte. Je commence à me demander s'il ne s'agit pas d'un bot.

Cordialement.

NB : Il est toujours possible de donner une interprétation à un discours délirant (les psychanalystes sont très forts pour ça), ça ne veut pas dire que le discoureur parle de ça.

[shaams]

Bonjour Shaams
A mon avis (mais MiPaMa conteste cette formulation et je n'ai pas encore fini d'étudier son explication), le plus petit majorant strict de 1 est lim (1+n) quand n tend vers 0.

Non ça n'a rien à voir, tu ne peux pas dire le plus petit majorant strict de ... parce qu'il y aura toujours une infinité encore plus petite encore et encore... . Donc le successeur n'existe pas. Considère que "l'axiome" "successeur" n'existe pas dans IR

[Médiat]

Bonjour,

Non seulement le successeur d'un réel n'existe pas, mais c'est le cas de tous les ordres denses, y compris pour les rationnels, ce n'est donc même pas lié à la complétude au sens de Cauchy.

[Deedee81]

Salut,

EDIT trop lent pour répondre, croisement avec Mediat

le plus petit majorant strict de 1 est lim (1+n) quand n tend vers 0.

Il est facile de démontrer que ce n'est PAS un majorant strict de 1 !!!!
Il faut éviter les affirmations à l'emporte pièce. En mathématique quand on se pose une question, on démontre mais on n'affirme pas gratuitement ou selon son intuition ou ses envies.

Ne perdez pas votre temps à imaginer que Andretou sait de quoi il parle. Il manie des mots, seulement des mots.

C'est exactement ce que je lui reproche ci-dessus. Dire "A mon avis... le plus petit majorant strict de 1 est lim (1+n) quand n tend vers 0." sans le démontrer est une folie en mathématique. Il aurait tout aussi bien pu dire "A mon avis le successeur immédiat de 1 est un gremlins car les gremlins sont bien des nombres réels". En matière d'affirmation gratuite, non démontrée voire fantaisiste, ce n'est pas pire. Andretou s'enferme dans un mode de raisonnement qui l'empêche de comprendre et de progresser. J'espère qu'il va vite s'en rendre compte et rectifier.

[gg0]

Ce qui est amusant, c'est qu'il emploie du vocabulaire mathématique qu'il a li, mais qu'il ne comprends pas : "le plus petit majorant strict de 1 est lim (1+n) quand n tend vers 0." S'il comprenait ce qu'il écrit, il ne l'écrirait pas, car i vient de dirr "le plus petit majorant strict de 1 est 1". Ce qui est absurde.
Il manie des mots et des notations mathématiques, mais pas du sens. D'ailleurs, il ne cherche pas à comprendre, seulement à justifier ses affirmations sans signification.

Faut-il continuer ce flood ?

[andretou]

il y aura toujours une infinité encore plus petite encore et encore...

Oui, je suis d'accord.

Donc le successeur n'existe pas.

C'est là où j'ai un problème. Faut-il conclure à la non-existence du plus petit majorant strict, ou seulement à son caractère indéterminable ? Qu'est-ce qui s'oppose à la deuxième option ?

[andretou]

le plus petit majorant strict de 1 est lim (1+n) quand n tend vers 0.

Il est facile de démontrer que ce n'est PAS un majorant strict de 1 !!!!

Je n'attends que ça ! Peux-tu STP exposer cette démonstration, et le débat sera clos ?

[Deedee81]

Salut,

le plus petit majorant strict de 1 est lim (1+n) quand n tend vers 0.
Je n'attends que ça ! Peux-tu STP exposer cette démonstration, et le débat sera clos ?

C'est un renversement de la charge de preuve (franchement comment OSES-TU utiliser ce genre d'expression si tu ne sais même pas démontrer ton propos. Tu le fais exprès pour te moquer de nous ?)
Mais je vais faire l'effort puisque élémentaire.

Il y a plusieurs définitions équivalentes de limites, mais je vais prendre celle-ci facile à utiliser :
La limite tend vers 1 si pour tout voisinage de 1 il existe un n tel que 1+n appartient au voisinage.
Soit V un tel voisinage.
Tout voisinage de 1 contient une boule ouverte centrée sur 1 (propriété élémentaire des voisinages).
Soit B une telle boule.
Si le rayon de la boule est r, alors je prend n = r/2.
Donc 1+n appartient à la boule (car r/2 < r)
Donc 1+n appartient à V.
Donc la limite est égale à 1.
CQFD.

Techniquement ça revient à dire que l'expression est synonyme de 1.
Ta phrase sur le majorant strict est donc :
Le plus strict majorant de 1 est 1.
Ce qui revient à affirmer que 1 > 1.
Ce qui est faux.

et le débat sera clos ?

J'en doute.

[Matmat]

Comme dis plus haut une démo très simple est que tu supposes qu'il existe , tu exhibes un plus petit que lui , tu conclus à une contradiction .

[gg0]

"Peux-tu STP exposer cette démonstration, et le débat sera clos ? "
message #72

"C'est là où j'ai un problème. " En maths, on applique le principe du tiers exclu. Va sur un forum de philosophie, ici c'est des maths : Le fait que l'existence amène à une contradiction donne comme conclusion la non existence. Tu reviens sur une de tes questions absurdes : http://forums.futura-sciences.com/ma...ematiques.html.
Finalement, tu parles dans tous tes sujets de notions que tu ne comprends pas, que tu ne veux pas chercher à comprendre, en jouant sur les mots au lieu de penser.
Finalement, tu te donnes de l'importance parce qu'on te répond, sans te rendre compte que tout le monde pense "qu'est-ce qu'il est bouché !!"

[Médiat]

On peut s'amuser un peu : Soit un symbôle de constante représentant un élément strictement positif et strictement plus petit que tous les réels positifs (ce n'est donc pas un réel)

Soit
muni de la relation d'ordre , alors chaque élément a un successeur immédiat, mais tous n'ont pas un prédécesseur immédiat.

Bien sûr ce n'est plus un ordre dense.

(On me pardonnera quelques abus d'écriture qui devraient être clairs)

[Matmat]

ça ressemble à une utilisation du tiers exclus mais ce n'est pas une utilisation du tiers exclus .

[andretou]

Il y a plusieurs définitions équivalentes de limites, mais je vais prendre celle-ci facile à utiliser :
La limite tend vers 1 si pour tout voisinage de 1 il existe un n tel que 1+n appartient au voisinage.
Soit V un tel voisinage.
Tout voisinage de 1 contient une boule ouverte centrée sur 1 (propriété élémentaire des voisinages).
Soit B une telle boule.
Si le rayon de la boule est r, alors je prend n = r/2.
Donc 1+n appartient à la boule (car r/2 < r)
Donc 1+n appartient à V.
Donc la limite est égale à 1.
CQFD.

Techniquement ça revient à dire que l'expression est synonyme de 1.
Ta phrase sur le majorant strict est donc :
Le plus strict majorant de 1 est 1.
Ce qui revient à affirmer que 1 > 1.
Ce qui est faux.

Merci Deedee, je ne connaissais pas la notion de voisinage.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Voisin...C3%A9matiques)
La question sur l'inexistence d'un "successeur immédiat" à tout nombre réel est maintenant close en ce qui me concerne, j'espère que cela ramènera la bonne humeur sur ce fil (reste encore la question de la non-calculabilité de l'égalité entre réels calculables évoquée par Médiat en #5 et sur laquelle je vais revenir).

[andretou]

On peut s'amuser un peu : Soit un symbôle de constante représentant un élément strictement positif et strictement plus petit que tous les réels positifs (ce n'est donc pas un réel)

Soit
muni de la relation d'ordre , alors chaque élément a un successeur immédiat, mais tous n'ont pas un prédécesseur immédiat.

Bien sûr ce n'est plus un ordre dense.

(On me pardonnera quelques abus d'écriture qui devraient être clairs)

Bonjour Médiat
Pouvez-vous SVP nous en dire plus sur cet étonnant ? Est-ce que cette "entité" existe réellement, ou est-elle purement symbolique comme le sont par exemple les nombres imaginaires ?
Et quelle est l'utilité de en mathématiques ?

[Médiat]

Bonjour,

Cette entité "existe" autant ou aussi peu que le i des complexes ou 0 ou 1, ce sont des symboles mathématiques, c'est tout.

Quant à son utilité, je pense qu'elle est à peu près nulle, je voulais juste montrer qu'il n'y a pas une fatalité des propriétés mathématiques qui ne sont liées qu'aux axiomes que l'on se donne, et que la notion de successeur n'est pas strictement identique à celle de prédécesseur (ici tous les éléments ont un successeur immédiat, mais tous les éléments ne sont pas des successeurs immédiats)

[andretou]

Si j'ai bien compris, les points d'une droite ne "se touchent pas" (puisque à l'image des nombres réels, un point ne peut avoir ni prédécesseur ni successeur).
Avez-vous SVP la possibilité de m'indiquer quelle est la formulation mathématique correcte ("les points d'une droite ne se touchent pas") ?

[invite47ecce17]

Qu'est ce que ca veut dire "les points d'une droite se touchent"? On est pas dans votre tete.

Est ce que ca veut dire aussi que les points d'une droite ne s'habillent pas en violet (svp qqun peut il me traduire en langage mathématique ce que veut dire s'habiller en violet?)?

[invite47ecce17]

Vous pouvez regarder la définition d'espace séparé.
Et, oui, R muni de sa topologie usuelle est un espace séparé (Hausdorff space en anglais).

[andretou]

Qu'est ce que ca veut dire "les points d'une droite se touchent"? On est pas dans votre tete.

Ok !...
Sachant qu'un nombre réel n'a pas de majorant ni de minorant strict, le même principe s'applique-t-il aux points d'une droite ?
Et si tel est le cas, comment le formuler ?

[minushabens]

entre deux points quelconques d'une droite il y a toujours un troisième point (leur milieu par exemple).

[invite47ecce17]

Oui, a ceci pres qu'il n'y a pas d'ordre naturel sur une droite, néanmoins si vous "importez" l'ordre sur R (et sa topologie également) sur une droite (affine réelle), via le choix d'une origine, alors oui c'est vrai.

[andretou]

entre deux points quelconques d'une droite il y a toujours un troisième point (leur milieu par exemple).

D'accord, c'est pareil qu'avec les nombres réels. De ce fait, puisqu'un nombre réel n'a ni successeur ni prédécesseur, peut-on dire qu'un point d'une droite n'est en contact avec aucun autre point de la même droite ? Et si oui, comment exprimer cela mathématiquement ?

[invite47ecce17]

En fait, ce que vous avez pas l'air de comprendre c'est qu'en mathématiques, on peut appeler qqch comme on le veut du moment qu'on en donne une définition precise, soit precisement l'inverse de ce que vous faites sur a peu pres tout vos message (e.g en maths un opérateur borné est un cas particulier d'operateur non borné).
On peut dire qu'aucun réel n'est en contact avec aucun autre si on met une définition derriere qui est vraie pour l'ensemble des réels... encore une fois comme on est pas dans votre tete, on peut pas inventer une définition qui correspond à ce que vous avez en tete pour vous.

On vous a deja donné des définitions qui justement formalisent ce genre d'idées (connexité, séparation etc...), pourquoi ne pas les utiliser?
Quelle est la question mathématiques à laquelle vous voulez répondre, à la fin? (et non "est ce que les réels se touchent ou non, n'est pas une question mathematiques).