Quand un nombre est-il inférieur à un autre nombre ?

[andretou]

Bonjour à tous
A partir de l'égalité bien connue 3 x 1/3 = 1,
nous pouvons écrire : 3 x 0,333... = 1,
et de là : 0,999... = 1
Mais aussi, 1/0,999... = 1 (puisque si a = b, alors 1/a = 1/b)
Or 1/0,999... = 1,000...
Donc : 0,999... = 1 = 1,000...

1/ Ainsi, puisqu'un nombre qui commence par 0 n'est pas nécessairement inférieur à un nombre qui commence par 1, alors quelle est la règle qui permet d'affirmer qu'un nombre "a" est inférieur à un nombre "b" ?
Apparemment, il ne suffit pas de prouver l'existence d'un nombre compris entre "a" et "b" pour définir une relation d'ordre entre "a" et "b" (puisque entre 0,999... et 1,000... se trouve le nombre 1, et que malgré cela il n'y a pas de relation d'ordre entre ces trois nombres 0,999... , 1, et 1,000...).

2/ Par ailleurs, si 0,999... = 1, alors quel est le nombre immédiatement inférieur à 1 ?
Quelle est la meilleure manière d'exprimer ce nombre ?

Merci pour vos réponses, et joyeuses fêtes à tous !
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[invite51d17075]

2/ Par ailleurs, si 0,999... = 1, alors quel est le nombre immédiatement inférieur à 1 ?
Quelle est la meilleure manière d'exprimer ce nombre ?

il n'y a pas UN nombre immédiatement inférieur à 1 et 0,9999.... est une écriture, ce n'est pas un nombre.

[andretou]

0,9999.... est une écriture, ce n'est pas un nombre.

Alors qu'est-ce qu'un nombre ?

[gg0]

Andretou,

on apprend en fin de collège, que a<b signifie b-a>0. Ce qui règle ta question.

Le nombre immédiatement inférieur à 1 est 0. Dans les entiers, parce que dans ce cas l'expression "immédiatement inférieur" a un sens. Si tu parles de nombres réels, ça n'a plus de sens, et si tu parles ne nombres complexes, même "inférieur" n'a pas de sens.
Tant que tu continueras à baratiner à propos des maths sans chercher à vraiment comprendre (donc apprendre), tu écriras des âneries.

Désolé !

NB : "..qu'est-ce qu'un nombre ?" Il serait temps que tu apprennes ça

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour andretou


Vous posez une question très profonde (la première ; parce que la deuxième est triviale : il n'y a pas de réel immédiatement inférieur à un réel donné) : la relation d'ordre et même l'égalité ne sont pas calculables entre réels calculables, c'est à dire qu'il n'y a pas d'algorithme donnant la réponse en un temps fini !

je précise néanmoins, que sans l'ombre d'un doute 0.9 = 1 = 1.0

[andretou]

Le nombre immédiatement inférieur à 1 est 0. Dans les entiers, parce que dans ce cas l'expression "immédiatement inférieur" a un sens. Si tu parles de nombres réels, ça n'a plus de sens, et si tu parles ne nombres complexes, même "inférieur" n'a pas de sens.

Il n'est donc pas possible de définir le nombre qui précède immédiatement le nombre 1 (dans l'ensemble des Réels, évidemment) ? Ce nombre existe, pourtant...

Tant que tu continueras à baratiner à propos des maths sans chercher à vraiment comprendre (donc apprendre), tu écriras des âneries.

Merci gg0, joyeux Noël à toi aussi !

[gg0]

Il n'est donc pas possible de définir le nombre qui précède immédiatement le nombre 1 (dans l'ensemble des Réels, évidemment) ? Ce nombre existe, pourtant...

Comme le père Noël !

[Médiat]

Ce nombre existe, pourtant...

Non, comme il vous a déjà été dit

Si a était le nombre réel immédiatement supérieur à 0, que serait a/2 ?

[gg0]

Faut quand même être gonflé pour affirmer l'existence d'un nombre après avoir demandé "Alors qu'est-ce qu'un nombre ? "

"J'ai pas lu, j'ai pas vu, mais j'ai entendu parler" (Delfeil de Ton)

[andretou]

il n'y a pas de réel immédiatement inférieur à un réel donné

Vous voulez dire qu'il n'existe pas de réel immédiatement inférieur à un réel donné, ou qu'un tel réel immédiatement inférieur existe mais qu'on ne peut pas le définir ?
Car s'il n'existait pas de réel immédiatement inférieur à un réel donné, alors cela voudrait dire qu'il y a des "trous" dans l'ensemble des Réels...

[invitec4bbab6d]

La principale source d'incompréhension est qu'une relation d'ordre n'a de sens que sur un ensemble... Un nombre veut tout et rien dire. Comme le faisait remarquer gg0, la question est triviale sur l'ensemble des entiers naturels (0), elle l'est aussi sur l'ensemble des entiers relatifs (0), sur l'ensemble des entiers naturels non nuls (1 est le plus petit entier), sur l'ensemble [0;2]...

Sur l'ensemble des réels, ordonné, la réponse à la question "est-ce que a est plus petit que b" est en effet triviale parce que comme le faisait remarquer encore une fois gg0, a < b signifie a - b < 0... Plutôt facile.

Mais il n'existe par pour autant de nombre immédiatement inférieur à 1, car cette question n'a pas de sens. Imaginez bien que :

0,999 < 1 mais que 0,9999 < 1 aussi et que 0,999999999999 < 1 aussi. Et on pourrait continuer de manière infinie.
Cela fait appel, sauf erreur de ma part, à la notion de densité. L'ensemble des réels est ensemble ordonné dense en lui même. C'est à dire que pour tout couple de réels, x et y, tels que x<y; il existe un réel z, tel que x<z<y. Autrement dit, il est toujours possible de trouver un nombre aussi proche que l'on veut d'un réel donné.

Bref, pour conclure, avant de parler de relations entre "nombres", il faut d'abord définir le contexte dans lequel on se place...
J'en profite d'ailleurs pour remercier Mediat qui a bien précisé que 0.9 = 1 = 1.0...

[Médiat]

Vous voulez dire qu'il n'existe pas de réel immédiatement inférieur à un réel donné, ou qu'un tel réel immédiatement inférieur existe mais qu'on ne peut pas le définir ?
Car s'il n'existait pas de réel immédiatement inférieur à un réel donné, alors cela voudrait dire qu'il y a des "trous" dans l'ensemble des Réels...

C'est exactement le contraire, s'il y avait un successeur, cela voudrait dire qu'il y a un trou entre les deux

[invitec4bbab6d]

Il n'existe pas de réel immédiatement inférieur à un réel donné (cf. mon précédent message).
Il n'y a pas de trous dans l'ensemble des réels non...

[andretou]

C'est exactement le contraire, s'il y avait un successeur, cela voudrait dire qu'il y a un trou entre les deux

Donc aucun réel n'a de successeur, sans quoi il y aurait effectivement un trou entre un réel et son successeur...
Mais en même temps, tout nombre réel a forcément un successeur, sans quoi l'ensemble des réels se limiterait au nombre 0...
Ca y est, j'ai mal à la tête...

[invite51d17075]

un nombre réel x n'a pas de successeur au sens de successeur immédiat, mais il y a une infinité de nb y>x.
c'est la même chose pour les rationnels.
et si tu veux avoir mal à la tête , les rationnels eux, sont pour autant "dénombrables" ( contrairement aux réels ) au sens mathématique du terme.

[invitec4bbab6d]

Ahah, j'avais hésité à parler justement de la dénombrabilité et de la densité de Q, je me suis dis que c'était le meilleur moyen de perdre andretou.

[invite982dd8e4]

je précise néanmoins, que sans l'ombre d'un doute 0.9 = 1 = 1.0

Euh... pourquoi ?

[invitec4bbab6d]

Pour marquer la périodicité.

[invite982dd8e4]

Tu veux dire 0.99... (une infinité de 9) = 1 ?

[Médiat]

Tu veux dire 0.99... (une infinité de 9) = 1 ?

Oui

Voir, par exemple : http://forums.futura-sciences.com/ph...99999-1-a.html

[andretou]

La question prise sous l'angle des Rationnels mérite en effet d'être approfondie, mais si possible j'aimerais d'abord que vous m'aidiez à résoudre ce paradoxe dans l'ensemble des Réels du fait de son caractère indénombrable (donc pas d'embrouille possible sur la continuité ou la discontinuité)...

Je reformule :

Aucun réel n'a de successeur immédiat, sans quoi il y aurait effectivement un trou entre un réel et son successeur immédiat.
Mais en même temps, tout nombre réel a forcément un successeur immédiat, sans quoi l'ensemble des réels se limiterait au nombre 0.

Ces deux phrases sont-elles l'une et l'autre correctes ? Et si oui, comment les conciler ?

[invitec4bbab6d]

Non la deuxième phrase est fausse puisque nous venons de vous dire qu'un nombre réel n'a pas de successeur immédiat au sens où vous l'entendez.
Cela peut vous semblez un paradoxe (un peu comme le paradoxe de Zénon), mais il n'y en a pas.

Et j'ai même envie de vous dire que la première (au sens où vous l'entendez) n'est rien de plus que la définition de la densité d'un ensemble.

[invite982dd8e4]

La question prise sous l'angle des Rationnels mérite en effet d'être approfondie, mais si possible j'aimerais d'abord que vous m'aidiez à résoudre ce paradoxe dans l'ensemble des Réels du fait de son caractère indénombrable (donc pas d'embrouille possible sur la continuité ou la discontinuité)...

Je reformule :

Aucun réel n'a de successeur immédiat, sans quoi il y aurait effectivement un trou entre un réel et son successeur immédiat.
Mais en même temps, tout nombre réel a forcément un successeur immédiat, sans quoi l'ensemble des réels se limiterait au nombre 0.

Ces deux phrases sont-elles l'une et l'autre correctes ? Et si oui, comment les conciler ?

Tout nombre réel n'a pas forcément un successeur, 0.1 n'a pas de successeur.
Pour ce qui est du caractère indénombrable de IR il te faut ouvrir un cours d'Algèbre, mais je peux te donner une définition pour voir un peu : Un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec IN.

[invitec4bbab6d]

Tout nombre réel n'a pas forcément un successeur, 0.1 n'a pas de successeur.

STOP : un nombre réel, quelqu'il soit n'a pas de successeur point à la ligne ! La notion de "successeur" ou de "suivant" n'a aucun sens ici...

Quant à l'indénombrabilité de R, c'est un fait. mais cela ne change rien au fait que Q est dénombrable et pourtant dense.

[andretou]

Non la deuxième phrase est fausse puisque nous venons de vous dire qu'un nombre réel n'a pas de successeur immédiat au sens où vous l'entendez.

Mais si 0 n'a pas de successeur, dans ce cas comment expliquer qu'il y ait d'autres réels que 0 ?

[invite982dd8e4]

STOP : un nombre réel, quelqu'il soit n'a pas de successeur point à la ligne ! La notion de "successeur" ou de "suivant" n'a aucun sens ici...

Ouais

[invitec4bbab6d]

Mais parce que vous imaginez que l'ont construit l'ensemble des réels comme on construirait l'ensemble des entiers naturels !
Encore une fois, la notion de successeur est erronée et sans objet dans le cadre de votre question !

[andretou]

Mais parce que vous imaginez que l'ont construit l'ensemble des réels comme on construirait l'ensemble des entiers naturels !
Encore une fois, la notion de successeur est erronée et sans objet dans le cadre de votre question !

Mais si l'on représente l'ensemble R par la droite réelle achevée, alors on peut associer un réel à chaque point, et inversement.
Or, la droite réelle étant continue, chaque point de cette droite n'a-t-il donc pas un prédécesseur et un successeur ?

[gg0]

Ben justement non !

Le mot"continue" dit justement le contraire.
Encore une fois, il ne suffit pas d'écrire des mots, il faut savoir ce qu'ils veulent dire ...

[Médiat]

Justement non : si vous prenez deux points différents sur la droite, la distance entre eux est un nombre réel strictement positif, et du coup il existe un point exactement à mi-distance de chacun (ce que vous appelez continuité n'est pas clair pour moi)