Médiat,
j'ai bien l'impression qu'on retombe exactement sur la même difficulté que la discussion sur les segments (http://forums.futura-sciences.com/ma...-ne-egaux.html) : A partir du moment où les points et les segments ne sont pas distingués, avec une idée de la droite "suite de points", il devient difficile de ne pas recommencer le même dialogue de sourds.
Cordialement.
gg0,
J'ai peur que vous ayez raison, ce qui me chagrine c'est que la première question était originale et intéressante, mais, depuis, j'ai l'impression de l'avoir mal comprise.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je suis d'accord. Il est toujours possible de trouver un point aussi proche que l'on veut d'un autre point.Envoyé par Médiat
Mais ne peut-on plutôt en conclure qu'il existe une infinité de successeurs à tout nombre réel ? Car dire qu'un nombre n'a pas de successeur ne revient-il pas à définir l'extrémité bornée d'une demi-droite ? L'extrémité bornée d'une demi-droite n'a en effet pas de successeur (mais uniquement des prédécesseurs), contrairement aux autres points de la demi-droite.
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
N'est-il pas plus simple de raisonner sur les rationnels? Ou même sur l'ensemble A={0,1/n, pour n dans IN} ordonné avec l'ordre induit par celui de Q. Dans A, 0 n'a pas de successeur, 1 non plus mais tous les éléments de la forme 1/n n>1 ont un successeur et un prédécesseur.
@andretou: prouvons par l'absurde que 0 n'a pas de successeur. S'il en avait un, il serait de la forme 1/n puisque 0 ne peut pas être le successeur de lui-même et que tous les autres éléments de A sont de cette forme. Mais on voit immédiatement que 1/(n+1) est plus petit que 1/n et plus grand que 0 et donc 1/n ne peut être le successeur de 0.
@andretou :
La notion de successeur a un sens précis et il ne peut en rester qu'un (dans un ordre total).
Dernière modification par Médiat ; 23/12/2016 à 19h07.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pas de soucis, on va revenir sur la première question, j'aimerais juste d'abord éclaircir, si vous êtes d'accord, la question des successeurs que je trouve décoiffante...
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
non, ce sont deux concept différents.
si un ensemble est borné ET fermé ( supérieurement par exemple ) alors il n'a pas de successeur par définition dans son ensemble.
il y a une diff entre [0;1[ et [0;1]
ou bien je n'ai pas compris ce que tu voulais dire.
les posts se croisent : je répondais à andretou.
J'ai bien capté : il existe toujours un plus petit successeur d'un réel (ou d'un rationnel) donné.
De ce fait, je comprends qu'il n'existe pas de successeur absolu, mais qu'il existe quand même un certain successeur que l'on ne peut pas définir.
Là, est-ce que j'ai bon ? Ou pas ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
l'association des deux expressions est difficile, non ?.
en restant dans le champ des maths bien sur.
J'ai bien capté : il existe toujours un plus petit successeur d'un réel (ou d'un rationnel) donné.
De ce fait, je comprends qu'il n'existe pas de successeur absolu, mais qu'il existe quand même un certain successeur que l'on ne peut pas exprimer numériquement.
Là, est-ce que j'ai bon ? Ou pas ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
c'est bien il me semble parce que on ne peut pas le définir qu'il n'existe pas.
Dans mon esprit, le continu s'oppose au discontinu, de sorte qu'une suite continue de nombres n'a pas de "trous" (désolé, je sais que c'est pas très rigoureux, mais ça permet de fixer les idées)...
Donc, en considérant que la suite des Réels est continue (c'est-à-dire sans "trous"), alors comment un nombre réel lambda peut-il ne pas avoir de successeur ni de prédécesseur ?
Car si on déclare qu'un nombre réel lambda n'a ni successeur ni prédécesseur, alors cela n'implique-t-il pas simplement que la suite des Réels est discontinue ?
Afin de me sortir de cette contradiction, pourriez-vous SVP préciser la notion de continuité / discontinuité ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Et on peut rajouter ça
https://fr.wikipedia.org/wiki/Constr...res_r%C3%A9els
Parce que un nombre réel a bien des successeurs. C'est juste qu'il n'a pas de successeur immédiat car, justement par continuité, quel que soit le successeur considéré tu peux en trouver un autre encore plus proche.
Tandis que le successeur immédiat d'un nombre entier par exemple existe bien car il n'y en a pas de plus proche car c'est discontinu.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Merci MiPaMa, je savais pas quoi faire ce week end !
Mais pour m'aider, pouvez-vous m'indiquer à quel niveau se situe ma contradiction ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Y a aucune contradiction dans ce que vous ecrivez. Apprenez les definitions des termes que vous employez, et vous verrez qu'il n'y a aucune contradiction.Merci MiPaMa, je savais pas quoi faire ce week end !
Mais pour m'aider, pouvez-vous m'indiquer à quel niveau se situe ma contradiction ?
Votre question (en gras) formulée proprement devient
Dans un espace connexe muni d'une relation d'ordre, est ce qu'il y a forcement un plus petit element a l'ensemble des majorants d'un element?
La réponse est non... que voulez vous dire de plus.
Mon explication ci-dessus ne convient pas ? Qu'est-ce qui cloche ?
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Merci beaucoup pour cette explication ! Je vais méditer dessus car je trouve quand même paradoxal que dans une suite dite continue telle que l'ensemble des nombres Réels (un espace connexe muni d'une relation d'ordre), aucun élément de cette suite n'a de prédécesseur ni de successeur (il n'y a pas de plus petit élément à l'ensemble des minorants ou des majorants d'un élément quelconque de cette suite)...
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Excuse-moi Deedee, je n'avais pas vu ta réponse !
Je suis d'accord avec toi, mais je ne suis pas sûr que ta réponse soit compatible avec celles de Mediat et de MiPaMa. Selon toi il existe bien un successeur à tout nombre réel, et ce successeur n'est pas immédiat ; or, pour Mediat et MiPaMa il me semble qu'il n'existe pas de successeur du tout...
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Je pense que, comme dit plus haut, le terme "suite" vous induit en erreur. L'ensemble des réels n'est pas une "suite" (ce terme a un sens precis en maths, comme tous les autres en fait), utiliser le terme ensemble ou espace ce sera deja mieux.
Quant au terme successeur, il veut dire plus petit des majorants stricts (ce que d'aucuns ici appellent successeur immédiat), si on utilise l'expression "un successeur de a", pour parler de n'importe quel element strictement plus grand que a, alors le terme approprié est majorant strict (mais peu importe en fait les termes qu'on utilise tant qu'on en donne une définition précise, au moins localement si la définition est contraire a l'usage usuel, cela dit, je trouve l'usage du terme successeur pour simplement designer un majorant strict pas tres adroit, dans un file d'attente, la personne qui est 3 rang apres moi, n'est pas "mon successeur" ni "un de mes successeurs" en francais), j'avais d'ailleurs oublié le strict dans ma phrase plus haut. Le fait est que dans R un element a des majorants stricts (des elements b tels que b>a), pleins en fait. Mais il n'y en a pas de plus petit.
Bonjour,
Déjà, je ne sais pas ce qu'est un ensemble continu ou discontinu, je connais, pour les structure d'ordre, les notions de discret (IN par exemple), de dense (Q ou IR) et de complet (et il faudrait préciser de quelle complétude on parle)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour Mediat
Il existe donc des ensembles encore plus denses que R ???
Pouvez-vous SVP donner un exemple d'ensemble complet ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Andretou continue à utiliser comme image mentale des nombres des segments, pas leurs extrémités. 1 est représenté par le premier segment, 2 par le suivant, de même longueur, etc.
Une image mentale moins délicate, est l'axe des réels, avec des marques sans épaisseur tous les 1, et pour le point noté 1, pas de successeur (au sens de Andretou), mais des points situés après, aussi proches que l'on veut, mais avec encore (faire un grossissement si nécessaire) d'autres points encore plus proches.
Avec une image mentale sans lien avec la notion, impossible de comprendre, et sa fixation sur la notion de successeur peut continuer longtemps.
Pouvez-vous SVP m'indiquer si la formulation suivante est fausse ou si elle est mathématiquement acceptable ?
Dans un espace connexe muni d'une relation d'ordre, le plus petit élément "Mu" de l'ensemble des majorants stricts d'un élément "Lambda" est tel que lim(Mu - Lambda) = 0. Mu est alors appelé le "successeur immédiat" ou plus petit majorant strict de Lambda.
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Non, le plus petit element m des majorants stricts d'un element a, et un element m tel que
m>a, et si M>a, alors M>=m. Un tel element est necessairement unique.
Edit: A toute fin utile, je precise que si on prend juste un espace topologique muni d'une relation d'ordre alors on peut faire a peu pres ce qu'on veut avec la relation d'ordre ou la topologie, si l'on veut que l'un contraigne un peu l'autre, alors on peut demander que la topologie en question soit la topologie de l'ordre, ce qui est bien sur le cas pour R.
Pardonnez-moi, qu'est-ce que "M" ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
N'importe quel majorant strict de a.
Dit autrement le "successeur imédiat", m, est un majorant strict. Et si on dispose d'un majorant strict M, de a, alors m<=M.
Un tel successeur immédiat n'existe pas necessairement, mais s'il existe il est unique.
@ andretou
Quel est le successeur de 1 dans R ?
Salut,
Ca dépend de ce qu'on entend par successeur. Ici je l'ai employé dans un sens très large : "plus grand que". Mais en général successeur est synonyme de successeur immédiat. C'est ce dernier qui n'existe pas dans le cas des réels, pour la raison que j'ai indiquée.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
