Matrices

[Inaaass]

Bonjour ,
Je suis en classe préparatoire sup , je bloque au niveau d'un exercice ,
On m'a donné une matrice carré simple A€ M2(k) , on a montré A^2-3A+2I =0 d'où on a déduit l'insensibilité de A .
Ensuite vers la question 2 , on devait déterminer le reste de la division euclidienne de X^n par X^2 -3X+2 .
La correction disait que : X^n=(X^2-3X+2)Q(x) + ( ax+b) , et on a retrouvé a et b en remplaçant par 1 et 2 pour annuler le polynôme . Mais pourquoi le reste de la division euclidienne est du premier degres ? Qu'es qui nous permet de dire sa ?
Merci d'avance
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[Inaaass]

C'est Inversibilité et non insensibilité *

[invite52487760]

Bonsoir,

Cela découle d'une propriété commune à tous les anneaux euclidiens : ( L'anneau des polynômes est euclidien )
Définition :
Soit un anneau.
On dit que est muni d'une division Euclidienne s'il existe une application : , telle que :
vérifiant : où : .

Exemples :

- Si :
vérifiant : où : en prenant pour celle définie par : ( valeur absolue ).

- Si :
vérifiant : où : en prenant pour celle définie par : ( degré d'un polynôme ).

- Si : ( qui n'est pas un anneau, mais, ça marche, c'est un monoïde ).
vérifiant : où : en prenant pour celle définie par : ( fonction identité ).

Revenons maintenant à ta question de départ :

Pourquoi le reste de la division euclidienne de par se met sous la forme : ?
Parce que si nous retournons à l'exemple que j'ai cité çi dessus, à savoir :

- Si :
vérifiant : où : en prenant pour celle définie par : ( degré d'un polynôme ).

Alors, on constate que : n'est autre que : , et n'est autre que , et ne devrait être que sous la forme : , pour que la condition : soit vérifiée, c'est à dire : , d'où le choix de de cette forme, est qui représente la forme générale que puisse prendre de degré strictement inférieur au degré de .

Cordialement.

[Inaaass]

J'y vois plus clair maintenant ! Merci infiniment .

[A voir en vidéo sur Futura]