endomorphisme nilpotent et polynome caractéristique

[slivoc]

Bonjour,

Peut-être que j' invente un faux problème, mais il y a un passage dans la preuve du théorème suivant que je ne comprends pas vraiment:

Théorème ( mot à mot) : un endomorphisme f de E est nilpotent si et seulement son polynôme caractéristique ( noté P(X) plus tard) est de la forme (-X)^n.

Pour la preuve, le sens P(X)=(-X)^n implique f est nilpotent, pas de souci. Pour l' autre sens, on suppose une racine complexe L de P(X), on en déduit donc qu' il existe x dans E, x non nul, tq f(x)=Lx, d' où f(^k)(x)=L(^k)x, donc si f est nilpotent L=0 donc P(X)=(-X)^n.

Mon problème vient du fait que si E est un espace vectoriel réel, f un tel endomorphisme et L un nombre complexe ( dont on ne sait pas encore qu' il vaut 0), comment peut on écrire f^(k)(x)=L(^k)x ?? Et même, quel sens cela a, si L est complexe, d' écrire f(x)=Lx, alors que f est un endomorphisme de E qui est un E-V réel ?
J' ai donc essayé de répondre à la question par moi-même et j' aurai voulu savoir si le raisonnement était bon :

On peut considérer F de tel sorte que y est dans F si et seulement si il existe x dans E et z un nombre complexe tq z.x=y. Alors F est un espace vectoriel ( qui est E, sauf qu on autorise la multiplication par un nombre complexe et plus seulement par un nombre réel). De même , on considère g un endomorphisme de F tel que g(y)=z.g(x) (y=z.x comme précédemment). Alors f et g on même polynôme caractéristique et on peut reprendre la preuve en raisonnant sur g au lieu de raisonner sur f, et donc il y aurait du sens à écrire g(x)= L.x et g(^k)(x)=L(^k)x.

Bonne journée et bonne année !
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Effectivement la démonstration n'est pas bonne, meme si elle est essentiellement correcte.
Ta réparation est elle aussi "essentiellement" correcte, meme si elle n'est pas rigoureuse non plus.

Un moyen rapide de reparer la preuve de ton cours est de raisonner matriciellement. Choisis une base de E, et ecris M la matrice de f dans cette base, alors M peut etre vue comme un endomorphisme de C^d (d est la dimension réelle de E), dont le polynome caracteristique est le meme que celui de f et qui est aussi nilpotente, et tu rebranches sur le raisonnement precedent.

Tu peux aussi rigoriser ton idée, en donnant une vraie définition de F (ici ta définition n'en est pas une). Tu peux regarder ma réponse ici, pour avoir une définition de ton F.

[slivoc]

Merci pour le lien !
Cependant il y a une partie que je n' ai pas compris: comment va-t-on de Hom_R(V^*, C) vers Hom_R(V^*, R) avec un isomorphisme ? Parce que en fait, si j' ai compris la construction, on obtient la nouvelle application f: V_C->V'_C en composant les applications qui vont de Hom_R(V^*, C) vers Hom_R(V^*, R) puis vers V, puis on applique f pour arriver dans V' et ansi de suite jusqu' à retourner dans Hom_R(V'^*, C).

Juste pour savoir si j' ai un peu compris ce qu' on manipule: pour aller, de façon injective et linéaire, de Hom_R(V^*, R) vers Hom_R(V^*, C), il suffit de dire que si on a k dans Hom_R(V^*, R) et l dans V*, alors k(l) est dans R et donc dans C ?

[invite47ecce17]

Merci pour le lien !
Cependant il y a une partie que je n' ai pas compris: comment va-t-on de Hom_R(V^*, C) vers Hom_R(V^*, R) avec un isomorphisme ? Parce que en fait, si j' ai compris la construction, on obtient la nouvelle application f: V_C->V'_C en composant les applications qui vont de Hom_R(V^*, C) vers Hom_R(V^*, R) puis vers V, puis on applique f pour arriver dans V' et ansi de suite jusqu' à retourner dans Hom_R(V'^*, C).

Chuis pas sure de comprendre ce que tu veux dire ici. Et la partie en gras est fausse tu as une injection qui va dans l'autre sens (et que tu decris apres).

Juste pour savoir si j' ai un peu compris ce qu' on manipule: pour aller, de façon injective et linéaire, de Hom_R(V^*, R) vers Hom_R(V^*, C), il suffit de dire que si on a k dans Hom_R(V^*, R) et l dans V*, alors k(l) est dans R et donc dans C ?

Oui c'est ça, une application R-linéaire qui atterit dans R, c'est a fortiori une application R-linéaire qui atterit dans C.

Voici la construction de l'application f: V_C-> V'_C en détail.
Tu as un isomorphisme de V sur Hom_R(V^*, R) qu'on va noter [.]. Dit autrement [v] c'est la forme R-linéaire sur V^* qui à associe . C'est un isomorphisme parce que V est de dimension finie. Je note de la meme manière l'isomorphisme de V' sur Hom_R(V'*, R).

Tu as donc V identifé à Hom_R(V^*, R) qui est un sous R-espace vectoriel de V_C, ou dit autrement []: V->V_C est une injection de R-espaces. Tu peux maintenant prendre des comb linéaire complexes d'elements de V, seulement celle ci seront en general dans V_C. Tu peux aussi verifier facilement que pour toute R-base (e_1,...,e_n) de V, la famille ([e_1],...,[e_n]) est une C-base de V_C.

Ton application F: V_C->V'_C et qui etend f (je note F pour l'extension pour plus de clarté) et qui est C-linéaire est définie par F([v])=[f(v)] pour v dans V (tu peux ecrire ce qu'elle donne directement en terme de forme linéaire si tu veux mais c'est moins "visuel", tu peux aussi utiliser ce que je viens de dire sur les bases et te rappeler que pour définir une application linéaire il suffit de donner l'image d'une base).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite47ecce17]

En fait la construction que je fais est u cas particulier de la notion de produit tensoriel, ou je "shunte" l'usage de la notion. Si tu sais ce que c'est, alors V_C est simplement V\otimes_R C, et F est simplement l'extension de f par C-linéarité.

[slivoc]

Chuis pas sure de comprendre ce que tu veux dire ici. Et la partie en gras est fausse tu as une injection qui va dans l'autre sens (et que tu decris apres).

Je cherchais à faire en sorte que pour aller de V à V_C, on ait un isomorphisme de R-espace vectoriel. Mais en fait ça n' avait pas vraiment de sens je crois puisque de toute façon C est au mieux de R-ev de dimension 2, donc Hom_R(V^*, C) de dimension 2*dim V. Je n' avais pas compris qu' il fallait voir V_C comme un C-espace vectoriel.

Quand tu dis " prendre des comb linéaire complexes d'elements de V, seulement celle ci seront en general dans V_C", je ne comprend pas bien : pourquoi si L est complexe, et v dans V, L.v est dans V_C ? Pour moi, ça serait L.[v] qui serait dans V_C ?

j' ai une question sur [.]: cette application met en bijection les R-bases de V et les C-bases de V_C, mais par contre ce n' est aucunement un isomorphisme (puisque V est un R-ev et V_C un C-ev) ?


On n' a pas du tout vu ce qu' est le produit tensoriel, d' ailleurs le dual et le bidual ont été assez rapidement abordé ce qui est assez dommage !

[invite47ecce17]

Quand tu dis " prendre des comb linéaire complexes d'elements de V, seulement celle ci seront en general dans V_C", je ne comprend pas bien : pourquoi si L est complexe, et v dans V, L.v est dans V_C ? Pour moi, ça serait L.[v] qui serait dans V_C ?

Tu as raison, mais je fais une identification implicite entre V et ce qu'on pourrait noter [V] (qui est Hom_R(V^*, R)) qui est l'image de V dans V_C par [.]. L'application [.] te donne un isomorphisme entre V et un sous-R-espace de V_C, qui est [V]. Quand tu identifies V à [V], tu peux prendre des combinaisons linéaires complexes d'element de V, identifé à [V] à l'interieur de V_C.

j' ai une question sur [.]: cette application met en bijection les R-bases de V et les C-bases de V_C, mais par contre ce n' est aucunement un isomorphisme (puisque V est un R-ev et V_C un C-ev) ?

Non, ca n'est pas un isomorphisme. Se demander si c'est un isomorphisme de C-espace n'as pas de sens comme tu le remarque, puisque V n'est pas muni de structure de C-espace. On pourrait se demander si c'est un isomorphisme de R-espace par contre. La réponse est non, puisque la dimension réelle du second est le double de celle du premier. Un supplementaire de [V] dans V_C est bien sur donné par i[V], et tu as V_C=[V]\oplus i[V].
En general l'identification de V et [V] est implicite comme j'ai dit plus haut, et on écrit V_C=V\oplus iV.

[slivoc]

Merci beaucoup pour toutes ces précisions!
J' aurai juste une dernière question, moins mathématiques cette fois. Arrive-t-il un moment où tous ces "jonglages" entre un espace et son bidual ( par exemple) deviennent habituelles en cours ? Ou bien faut-il s' entraîner de son côté ? Parce que je trouve ce genre de construction assez sympa et ça change un peu.

Bonne soirée !

[invite47ecce17]

Ce genre de "jonglage" devient habituel oui (pas forcement avec le bidual mais ce genre de construction), et souvent assez implicite meme.