Prouver qu'une fonction est C1

[invitecff9be42]

Bonjour, j'ai beaucoup de problème à réviser mes maths car je ne connais pas les méthodes et propriétés usuelles pour résoudre certains problèmes.

Par exemple, on me donne la fonction
f(x,y) =xy sin(1/y) si y /= 0
= 0 sinon

On me demande de discuter l'existance des dérivées partielles sur R², puis si elle est différentiable sur R² et enfin de déterminer le plus grand ouvert sur lequel elle est C1.

J'ai réussi à prouver que ma fonction est C0, mais je sais que c'est insufisant pour déterminer qu'elle est différentiable.
En réalité, je pense qu'il me manque une définition simple de différentiabilité d'une fonction.
A chaque fois que je la cherche sur le net, je trouve l'implication: différentiable => admet des dérivées directionnelles => partielles, ou bien une définition avec une fonction linéaire et des "petit o" que j'ai du mal à appliquer en pratique.

Pouvez-vous me donner une méthode, un exemple de preuve de différentiabilité d'une fonction?

Merci d'avance,

Soucheland.
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[invitecff9be42]

Aussi, je sais montrer que des dérivées partielles existent en un point donné, mais pas pour tout un intervalle R².

[invitefa784071]

Si tu rappelle de la définition du taux d'accroissement pour les dérivées (une seule variable), c'est le même esprit : tu cherche à démontrer que ta fonction f(x+h,y+k)-f(x,y) = A*h+B*k + o(h,k) : ce o(h,k), (si j'ai bien compris, c'est ton problème) c'est quelque chose qui doit être négligeable par rapport à la variable (h,k) donc négligeable par rapport à la norme (je ne sais pas si tu as fait des cours sur les normes) de cette variable, par exemple .
Pour trouver ces coefficients A et B, tu peux essayer avec les dérivées partielles au point considéré et voir ce que ça donne (parce que si elle est différentiable, alors A et B seront les dérivées partielles...).

[ansset]

bonjour,

On me demande de discuter l'existance des dérivées partielles sur R², puis si elle est différentiable sur R² et enfin de déterminer le plus grand ouvert sur lequel elle est C1.

je pense qu'il faut commencer par cela sachant que :
l'existence des dérivées partielles ne suffit pas.
il faut que celles ci soient continues pour que la fonction soit C1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecff9be42]

Ok, (désolé si ca bug, c'est ma premiere fois avec latec)

Pour chercher A et B:
Mes dérivées partielles (si elles existent) semblent ^etre :




Le problème c'est que si je cherche |f(x+h,y+k)-f(x,y)| je me retrouve avec des y+k au dénominateur du sinus... Ca me semble compliqué de retrouver un B avec ca. Ou alors je le majore par la norme 2 de (h,k)?
C'est le chemin à prendre?

Ansset :
Oui, je pense qu'il est logique de commencer par là. J'ai trouvé la formule :

Mais c'est pour un (x_0,y_0) donné, or on me pose la question sur R².

Ou tu veux dire que je prend mes dérivées partielles que je viens de calculer (si c'est juste) et que je regarde si elles sont continues en tout points de R²?
Dans ce cas, seul les points (x,0) me semble poser un potentiel problème, mais est-ce assez rigoureux de dire "on test ces points les autres sont évidents"?

Merci pour votre aide en tout cas !

[ansset]

re-

cette première dérivée partielle est fausse.
et attention ( en autre ) au cas x=0 pour l'étude des continuités.

[gg0]

Dérivée partielle par rapport à x : Pour y différent de 0, f(x,y)=kx où k est une constante (dépendant de y, mais y est une constante quand tu cherches la dérivée partielle par rapport à x). et pour y=0, f(x,y)=0.
Il est facile de dériver dans les deux cas, et de se poser la question : la dérivée partielle obtenue est-elle continue, comme fonction de deux variables ?

Le cas de la dérivée partielle par rapport à y est plus délicat, on n'a pas de formule pour dériver en 0, mais on peut utiliser la définition de la dérivée.

Cordialement.

[invitecff9be42]

mmmhhh...

On considère y comme constante donc 1/y -> cste donc sa dérivée est 0 et

C'est mieux?

Je vois pas pourquoi la continuité en x=0 pose problème pas contre, il n'est jamais au dénominateur.

[ansset]

Le cas de la dérivée partielle par rapport à y est plus délicat, on n'a pas de formule pour dériver en 0, mais on peut utiliser la définition de la dérivée.
.

ben, il y a aussi une discussion pour celle par rapport à x en x= 0
f(0,y)=0

[invitecff9be42]

Bah, à vue de nez, je devrais pouvoir majorer |df(x,y)/dy - df/dy (x,0)| par le carré de la norme infini vu que sin et cos sont inférieur à 1. et retomber sur la définition de la continuité avec epsilon = ||(x,y)||inf²
Je dois bouger et une pause me fera du bien .

Je revien tout à l'heure, avec d'autres questions ^^

Merci pour tout !

[ansset]

je dois partir aussi,
j'ai peut être dit une bétise inutile.

[invitecff9be42]

Re,

Quand on me demande si f est différentiable, il n'y avait pas un résultat avec le calcul du gradiant où l'on peut conclure (si il est égal ou différent de 0, je sais plus)?

Ou vraiment il faut que je trouve mes coefficients A et B? Je ne connais pas bien les propriétés qui nous amènent à conclure qu'une fonction est différentiable. Est-ce que quelque chose du genre existe?

[invitecff9be42]

Aussi, pour la continuité de mes dérivées partielles, c'est finalement pas ce que je pensais :


Est ce que c'est juste si je prend Y = 1/y :


L'énoncé me force à penser que f n'est pas C1 sur R², comment alors prouver qu'une fonction n'est pas différentiable?

[Verdurin]

Bonsoir,

la fonction n'admet pas de dérivée partielle par rapport à y pour x=1 et y=0. Elle n'est donc pas différentiable en ce point.

Pour le démontrer il suffit d'utiliser l'indication de gg0.
Je développe un peu :
on cherche la dérivée en zéro, par rapport à y, de la fonction f₁ définie par



Par définition, si elle existe, c'est la limite



or


Il reste à conclure, puis à généraliser.

[invitecff9be42]

Ok, merci Verdurin.
Si j'ai bien compris, la fonction serait donc C1 sur R²\{y=0} donc différentiable sur cet intervalle.

Ca me semble tout de meme bisarre de supposer que si f = 0 pour y = 0 alors f1 = 0 pour y =0. Enfin, je ne savais pas si on avait le droit de faire ca

[Verdurin]

Ce n'est en rien bizarre.

Pour R²\{y=0} j'écrirais plutôt R²\{(x,0) | x dans R}.
Et ce n'est pas un intervalle, mais l'union de demi-plans ouverts et disjoints.
Mais, en effet, f est différentiable sur cet ouvert.

[gg0]

Soucheland,

tu devrais revoir la définition des dérivées partielles, et t'y tenir.

Cordialement.

[ansset]

je reviens ( tardivement ) sur ce que j'ai dit plus haut.
en fait pas de pb en x=0 pour la dérivée partielle par rapport à x.
soit une cte(y) si y non nul
soit 0 si y=0
on peut ( et on doit ) vérifier que la limite de la première = la seconde.