Espace vectoriel conjugué

[Murmure-du-vent]

J'ai regardé le wiki en francais sur la definition du conjugué complexe d'un EV.
on y parle largement d'abus de notations.
Je suis don allé voir sur le wiki anglais
Il évite les notations ambigues. Il évite avec soin de noter un element de

C'est cependent ce qu'il fait à la fin du paragraphe Complex conjugation functor
quand il parle de la matrice conjuguée dans la base
etait ce evitable?
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[invite02232301]

Bonsoir,
Y a pas d'abus de notation, on a une application "barre" de V dans V^bar, qui a v associe lui meme (noté v^bar pour signifier que la structrure de C-ev a changé, c'est bien l'image de v par barre). Cette application n'est pas un isomorphisme (de C-ev), mais c'est une bijection (c'est meme l'identité en tant qu'isomorphisme de R-ev).
On pourrait noter v tout simplement. De meme on aurait pu ecrire B au lieu de B^bar.

[Murmure-du-vent]

Si en physique je considere l EV des solutions de l'equation de Klein Gordon quand l espace temps
est plat l y a une base de solution anes a energie positive exp -ift et negatives exp ift.
v et son conjugué v^bar ont des energies differentes et ne sont pâs le meme objet
Annihiler v ou v^bar c est different
En espace temps courbe on n a meme plus la notion de frequence positive pour les solutions
Il faut faire un "choix" pour definir les sev H et H^bar
Dans le wiki francais il est dit que l'on a le meme objet

[invite02232301]

Si en physique je considere l EV des solutions de l'equation de Klein Gordon quand l espace temps
est plat l y a une base de solution anes a energie positive exp -ift et negatives exp ift.
v et son conjugué v^bar ont des energies differentes et ne sont pâs le meme objet
Annihiler v ou v^bar c est different
En espace temps courbe on n a meme plus la notion de frequence positive pour les solutions

Tout simplement parce que ca ne correspond pas a la construction de l'operateur bar qui est présentée ici.
exp(it)^bar=exp(it), tu confond l'opérateur bar présenté dans la construction plus haut, avec la conjugaison complexe dans ton cas.

Mais deja dans C^2 par exemple, (1,i) s'envoie dans C^2 bar sur (1,i)bar=(1,i) (et pas (1, -i))
Ce n'est pas parce que tu as la conjugaison complexe qui agit sur ton ensemble V, qu'elle agit comme bar.

Néanmoins c'est quand meme souvent le cas, par exemple si V est l'espace cotangent réel d'une variété complexe, et V_C est son complexifié alors V_C s'ecrit V^{1,0}\oplus V^{1,0}^bar, et l'operateur bar correspond a la conjugaison complexe sur les formes C-linéaires (qui deviennent anti linéaires), ou plus precisement à la compostion avec la conjugaison complexe.

Il faut faire un "choix" pour definir les sev H et H^bar
Dans le wiki francais il est dit que l'on a le meme objet

H et H^bar ne sont pas le meme objet non. Meme s'ils sont isomorphes, ils le sont non naturellement (canoniquement). Exactement comme H et Hdual (d'ailleurs le choix d'une métrique hermitienne sur H donne une isomorphisme canonique entre Hdual et Hbar). Par contre ensemblistement c'est le meme ensemble sous jacent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02232301]

D'ailleurs je devrais etre plus precise quand j'ecris

alors V_C s'ecrit V^{1,0}\oplus V^{1,0}^bar, et l'operateur bar correspond a la conjugaison complexe sur les formes C-linéaires (qui deviennent anti linéaires), ou plus precisement à la compostion avec la conjugaison complexe.

Ce que je veux dire c'est que tu as un isomorphisme canonique donné par avec (cette derniere barre étant la conjugaison d'un nombre complexe dans C). Dit autrement avec la conjugaison complexe usuelle sur C.
On a alors un diagramme commutatif

ou les fleches verticales sont l'identité.

[Murmure-du-vent]

Merci
J'ai compris. en fait on a deux EV qui partagent les memes objets sousjacents.
L'application "barre" est l'identité pour ces objets et
une application antilinéaire pour ces EV.