Bonjour,
Je suppose f fonction continue et positive telle que son intégrale sur R soit égale à 1.
Est-ce que l'intégrale de t.f(t) sur R existe nécessairement ?
Si oui, avez-vous une idée de démonstration ? Si non, avez-vous un contre-exemple ?
Bonjour.
L'intégrale n'existe pas nécessairement. Prends par exemple la loi de Cauchy, de densité a/(1+t²). Je te laisse le soin de trouver a pour que ce soit bien une densité.
Cordialement.
Merci pour ce contre-exemple.
Effectivement, la valeur a=1/Pi me donne une densité. Ce qui donne f(t)=(1/Pi)*1/(1+t^2).
Quelque chose me turlupine cependant: si je calcule l'intégrale de t*f(t) entre -R et R, je trouve 0 car la fonction est impaire sur [-R;R], et a fortiori, cette intégrale est nulle sur R.
Et cependant, je dois bien m'être trompé quelque part puisque la page Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de...(probabilités) indique également que la loi de Cauchy n'a pas d'espérance, et que ce que j'ai calculé est la médiane. Ai-je un problème de définition ? Dans mon calcul précédent, je vois bien que si je mets des valeurs absolues, alors l'intégrale sens vers + l'infini quand R end vers + l'infini.
Attention à la définition des intégrales généralisées : l'intégrale sur R n'est pas la limite de l'intégrale sur [-R R] mais la limite quand a et b tendent vers l'infini (indépendamment) de l'intégrale sur [a,b]. Si tu préfères, l'espérance est définie par une intégrale de Lebesgue, et ta fonction tf(t) n'est pas Lebesgue-intégrable.
Cordialement.
NB : Ce que tu calculais a un nom et une utilité, c'est la "partie principale" de l'intégrale, qui sert pour les distributions.
Merci bien pour ces précisions !
