f est continue équivaut à f^-1(int (B) C= int (f^-1(B))

[invite1f47911c]

Bonjour,

j'ai pas mal de problèmes à montrer l'équivalence entre la continuité de la fonction f : X--> Y et la proposition "f^-1 (int (B)) C= int(f^-1(B)) pour tout sous ensemble B de Y"
où f^-1 est la fonction réciproque de f
et C= signifie inclue ou égal

Dans cet exercice, je pense qu'il est supposé que f est injective pour que f^-1 existe mais cela n'est pas précisé dans l'exercice.

Dans mon cours, il n'y a qu'un seul théorème qui parle de la fonction inverse f^-1:
f : X--> Y est continue équivaut à la proposition "f^-1(V) est ouvert dans X pour tout sous ensemble ouvert V de Y" ou encore à la proposition "f^-1(C) est fermé dans X pour tout sous ensemble fermé C de Y"
Mais le fait est que je ne sais pas si X ou Y sont fermé donc je n'ai pas l'impression que ce théorème soit d'une grande utilité dans cet exercice.

Est ce que quelqu'un aurait une piste pour m'aider à résoudre cette preuve ?

Je vous remercie par avance,
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[invite184b87fd]

Bonsoir ,

Il faut savoir que l'intérieur d'un ensemble est toujours ouvert

cdt

[invite1f47911c]

Ah oui merci beaucoup pour cette indication !!

J'ai l'impression que mes raisonnements sont assez cycliques. J'utilise en effet les mêmes arguments dans les deux sens.
Est ce normal ?
Voici ma preuve :

pour : F est continue implique que f^-1(int (B) C= int (f^-1(B))
On suppose f continue, ce qui est équivalent à dire que f^-1(V) est ouvert dans X pour tout sous ensemble ouvert V de Y.
Comme int B est un ensemble ouvert. Prenons V= int B.
i.e. f^-1(int B) est ouvert dans X pour tout sous ensemble ouvert (int B) de Y.
De plus, par définition int B C=B
Donc f^-1(int B) C= f^-1(B)
Finalement on a donc f^-1(int B) C= int f^-1(B)

Dans l'autre sens, pour f^-1(int B) C= int f^-1(B) implique f est continue :
Supposons que f^-1(int B) C= int f^-1(B)
Comme l'intérieur est toujours ouvert, int (f^-1 (B)) est ouvert.
f^-1(int(B)) est à l'intérieur d'un ouvert donc ouvert également.
Comme, int B est dans Y et f^-1(int B) dans X, cela équivaut à dire que f est continue.

J'utilise les mêmes théorères et propriétés dans les deux sens. Cela est il faux ?

Merci d'avance

[gg0]

Donc f^-1(int B) C= f^-1(B)
Finalement on a donc f^-1(int B) C= int f^-1(B)

Tu n'as rien prouvé, tu affirmes (avec un finalement qui cache l'absence de preuve). Elle n'est pas difficile, mais il y a une justification à donner. Par exemple avec la définition de l'intérieur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Supposons que f^-1(int B) C= int f^-1(B)

Ce n'est pas l'hypothèse de ce que tu as à démontrer. Relis sérieusement ton énoncé.

cela équivaut à dire que f est continue.

Ouf !!! Peux-tu rappeler la définition de f est continue ? Nulle part tu n'as utilisé une définition classique de la continuité. Là encore, tu te contentes d'affirmer sans preuve.

[invite1f47911c]

Je me sers du théorème que j'ai cité plus haut qui dit que f continue est équivalent à f^-1(v) est ouvert pour tout sous ensemble V de Y.

Ça marche ainsi ?

[gg0]

Non ! Pour tout ouvert V de Y. Pas pour f^(-1)(int B) où B est une partie de Y.
Donc il faut appliquer ta définition :
Soit V un ouvert de Y .....

Et heureusement, ce que tu as comme hypothèse c'est ""f^-1 (int (B)) C= int(f^-1(B)) pour tout sous ensemble B de Y".

Bon travail !

[invite1f47911c]

Vous avez raison, je conçois le " f^-1(int B) C= f^-1(B) implique f^-1(int B) C= int f^-1(B)" mais je ne l'explique pas.

Je reprends la définition de l'intérieur de f^-1(B). Il s'agit du plus grand ouvert de X inclus dans f^-1(B).

Cela me donne que int f^-1(B) C= f^-1(B) (que je savais déjà..)

Mais je bloque vraiment pour utiliser cette définition et démontrer que f^-1(int B) C= int f^-1(B). Comment puis je utiliser la définition ?

Sinon, est ce que je peux justifier en disant que la fonction f est injective. Donc en prenant des antécédants de int B, f^-1 produit moins d'images que int f^-1(B) qui lui prend ses antécédants dans B? Vous comprenez ou c'est vraiment maladroit ?

[invite1f47911c]

Concernant la deuxième partie.
Soit V un ouvert de Y.
Je suppose que f^-1(int B) C= int(f^-1(B)) pour tout ensemble B de Y.
Je cherche à montrer que f est continue, ce qui revient à montrer que "f^-1(V) est un ouvert dans X, pour tout sous ensemble ouvert V de Y"

on a f^-1(int V) C= int(f^-1(V)) (puisque V est n'importe quel ensemble inclu dans Y)
Je ne comprends pas de quelles définitions vous parlez pour continuer ?

[gg0]

Tu n'utilises pas vraiment la continuité pour finir de justifier le 1 :
f^-1(int B) est ouvert
f^-1(int B) C= f^-1(B)
int f^-1(B) est le plus grand ouvert de X inclus dans f^-1(B), donc contient tous les ouverts contenus dans f^-1(B), donc il contient ...

Pour le 2, c'est quoi, l'intérieur d'un ouvert ?????

[invite1f47911c]

L'intérieur d'un ouvert est aussi un ouvert . Et comme f^-1(int B) est dans cet ouvert, il est lui même un ouvert.

Peux t'en dire que int B est le sous ensemble ouvert de Y cherché (sachant que B est arbitraire)

[gg0]

"L'intérieur d'un ouvert est aussi un ouvert "

Tu n'as pas mieux ??? Réfléchis vraiment.

"Peux t'on dire que ..." On êdut dire ce qu'on veut, mais toi tu as une preuve à faire, donc appliquer des règles de maths.

Cordialement.

[invite1f47911c]

J'ai réfléchis toute la soirée hier et ce matin..
À part voir qu'il y a possibilité de rentrer une boule ouverte dans interdite d'un ouvert, je ne vois pas..
Il me manque peut être un théorème ?

[gg0]

Soit V un ouvert. Quel est le plus grand ouvert contenu dans V ?

NB : Un ensemble se contient toujours lui-même, j'espère que tu le sais.