N dense dans R ?

[V13]

Bonjour dans mon cours il est inscrit que :

Soit est dense dans si et seulement si pour tout il existe une suite à valeurs dans tel que converge vers .

Le problème c'est que j'ai l'impression qu'avec cette définition est dense dans , en effet :

Quelque soit l'entier , la suite constante égale à est bien à valeur dans et converge bien vers . Du coup, est dense dans ?

Merci d'avance,
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[pm42]

Avec ta définition, tout est dense dans tout puisqu'on prend la suite constante qui vaut x et ça colle.
Ce ne sera pas plutôt un truc du genre pour tout x dans R ?

[invite23cdddab]

Si x n'est pas un entier, alors la suite constante égale a x n'est pas une suite à valeur dans N...

Une szuite à valeur dans un ensemble E, c'est une suite dont les termes sont des éléments de E. Et non, il n'y à pas de suite d'entiers qui converge vers 1/2

[V13]

D'accord d'accord...

J'avais fait une erreur de... recopiage !

En effet, tout cela semblait tiré par les cheveux !

Merci beaucoup à vous en tout cas ! ♥

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

Si x n'est pas un entier, alors la suite constante égale a x n'est pas une suite à valeur dans N...

Dans sa définition, A = N et on disait pour tout x appartenant à A donc à N. Donc si x n'est pas un entier, on n'est pas dans le cas de la définition donnée.

[invite23cdddab]

Oui, effectivement, je n'avais même pas remarqué que la définition de V13 était, disons, exotique . Mon cerveau à fait une correction automatique.

[pm42]

Oui, effectivement, je n'avais même pas remarqué que la définition de V13 était, disons, exotique . Mon cerveau à fait une correction automatique.

Ça m'arrive aussi

[invite9dc7b526]

Tu prends la topologie grossière sur R et alors N est dense dans R. On doit pouvoir trouver des topologies moins grossières pour lesquelles la fermeture de N est encore R.

[Médiat]

Bonjour,

La Topologie dont une base d'ouverts est constituée des parties cofinies devraient convenir (c'est pas très fin )

[pm42]

La Topologie dont une base d'ouverts est constituée des parties cofinies devraient convenir (c'est pas très fin )

On se fait plaisir mais on est loin de la question initiale
Ok elle a été répondue mais c'est vrai qu'on peut souvent construire des topologies exotiques pour avoir des propriétés étonnantes.

[invite23cdddab]

Vu qu'il existe une bijection de N vers Q et que Q est dense pour la topologie usuelle, on a une topologie tout à fait sympathique qui rend N dense dans R :

Il existe une bijection tel que

On prend alors pour ouverts les images par des ouverts de R pour la topologie usuelle.

Cette topologie est même métrisable ! (il suffit de prendre )

[invite9dc7b526]

Sinon en général, étant donnés un ensemble E et une partie A de E, existe-t-il une topologie la plus fine telle que l'adhérence de A soit E? je pense que non mais je ne vois pas comment le prouver.

[invite23cdddab]

Il est clair qu'il n'y a pas existence d'une topologie (unique) la plus fine.

Par exemple, en prenant E = R et A = Z, on a deux topologies qui rendent Z dense :
1) La topologie cofinie
2) La topologie dont les ouverts sont de la forme "Union d'intervalles de la forme [n,n+1["

Supposons maintenant qu'il existe une topologie plus fine que 1) et 2), alors elle contient tout les ouverts de 1) et tout les ouverts de 2)

Donc elle contient les ouverts [0,1[ et R\{0}

Donc elle contient l'ouvert ]0,1[

Donc il existe un ouvert (non vide) qui ne contient aucun élément de Z, donc Z n'est pas dense dans R pour cette topologie