Equa diff non-linéaire

[Coyote001]

Bonjour,

Je cherche à résoudre l'équation différentielle ci-dessous pour avoir la fonction x(t).

x''(t)=x'(t)²+f(t)*x'(t)+g(t) avec f et g des polynômes (de degré 1 et 2) de variable t.

J'aimerai bien avoir une solution analytique, donc si vous avez une méthode je suis à votre écoute

Une solution numérique m'irait bien aussi, mais je pense que ce n'est pas possible dans mon cas, car je n'ai que x'(t=0) et x(t=0) comme conditions initiales. Avec un schéma centré d'ordre 2, j'aurai aussi besoin de x(t=0+dt), que je n'ai pas...

Merci d'avance !
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[JJacquelin]

La méthode de résolution est donnée en page jointe.

Avec f(t) et g(t) des polynômes du premier et second degré, x(t) est obtenue explicitement avec des fonctions hypergéométriques.

[Coyote001]

Merci Jacquelin, grâce au changement de variable y(t)=exp(alpha*x(t)), je n'ai plus de dérivée au carré !

J'ai fait quelques changements sur l'équation de départ, qui est donc devenue x''(t)+alpha*x'(t)² +f(t)*x(t)+g(t)=0.
Avec le changement de variable y=exp(alpha*x(t)), j'obtiens : y''(t)-(at+b)*y'(t)+(ct²+dt+e)=0, avec a,b,c,d et e des constantes.
J'ai essayé de trouver une solution de la forme : y=exp(P(t)), avec P(t)=pt²+qt, p et q étant des constantes. Je me retrouve donc avec 3 équations reliant p et q, mais les 3 équations ne sont pas liées et donc pas moyen d'avoir des valeurs pour p et q...
J'ai donc regardé sur internet ce que sont les fonctions hypergéométriques, mais c'est pas super clair. Auriez-vous un lien vers un poly de cours sur ces fonctions svp ?

[JJacquelin]

Les fonctions hypergéométriques constituent une très large famille de fonctions spéciales qui incluent (en tant que cas particuliers) beaucoup de fonctions usuelles. Mais dans le cas présent, pas de chance, elles ne réduisent pas à des fonctions usuelles. Donc ce sera compliqué de les utiliser si on n'a pas l'habitude.
https://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_function
http://mathworld.wolfram.com/Hyperge...cFunction.html
Un article de vulgarisation sur les fonctions spéciales : https://fr.scribd.com/doc/14623310/S...ions-speciales

[A voir en vidéo sur Futura]